Номер 1, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

1. Сумма внутренних углов $n$-угольника равна ...

1. Сумму внутренних углов произвольного выпуклого $n$-угольника можно найти, разбив его на треугольники. Для этого выберем одну из вершин многоугольника и проведем из нее все возможные диагонали к остальным вершинам.

Диагональ соединяет две несоседние вершины. Из одной вершины $n$-угольника можно провести $n-3$ диагонали (нельзя провести диагональ к самой вершине и двум соседним). Эти диагонали разделят $n$-угольник на $n-2$ треугольника. Например, четырехугольник ($n=4$) делится одной диагональю на два треугольника ($4-2=2$), а пятиугольник ($n=5$) делится двумя диагоналями на три треугольника ($5-2=3$).

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Поскольку $n$-угольник состоит из $n-2$ треугольников, а сумма его внутренних углов равна сумме углов всех этих треугольников, мы можем вычислить искомую сумму.

Формула для вычисления суммы $S_n$ внутренних углов $n$-угольника:

$S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$

где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника ($n \ge 3$). Эта формула верна для любого простого (несамопересекающегося) многоугольника.

Ответ: $(n - 2) \cdot 180^\circ$.