Номер 23, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

23. Биссектрисы треугольника пересекаются ...

Это утверждение является известной теоремой геометрии, которая полностью звучит следующим образом:

Теорема о биссектрисах треугольника

Биссектрисы всех трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром и является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем биссектрисы двух его углов, например, $AA_1$ и $BB_1$. Они пересекаются в точке $I$, так как сумма половин углов $A$ и $B$ меньше $90^\circ$, а значит, биссектрисы не могут быть параллельны.

$$ \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = \frac{\angle A + \angle B}{2} < \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $$

Для доказательства теоремы воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Опустим из точки $I$ перпендикуляры на стороны треугольника: $IK$ на сторону $AB$, $IL$ на сторону $BC$ и $IM$ на сторону $AC$.

Так как точка $I$ лежит на биссектрисе $AA_1$ угла $A$, то она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, длины перпендикуляров равны: $IK = IM$.

Так как точка $I$ лежит на биссектрисе $BB_1$ угла $B$, то она равноудалена от сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $IK = IL$.

Из этих двух равенств ($IK = IM$ и $IK = IL$) следует, что $IM = IL$. Это означает, что точка $I$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$.

Теперь воспользуемся обратной теоремой: любая точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на его биссектрисе. Поскольку точка $I$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$, она должна лежать на биссектрисе угла $C$.

Следовательно, все три биссектрисы треугольника ($AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$) пересекаются в одной точке $I$.

Поскольку точка $I$ равноудалена от всех трех сторон треугольника ($IK = IL = IM$), она является центром окружности, которая касается всех трех сторон в точках $K$, $L$, $M$. Такая окружность называется вписанной в треугольник.

Ответ: ... в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.