Номер 24, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

24. Катет прямоугольного треугольника меньше ... .

Данное утверждение является фундаментальным свойством прямоугольного треугольника. Чтобы его завершить, необходимо определить, какой элемент прямоугольного треугольника всегда больше его катета.

В прямоугольном треугольнике стороны имеют специальные названия:

• Катеты — две стороны, образующие прямой угол (90°).
• Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Доказать, что катет меньше гипотенузы, можно двумя способами.

Доказательство через соотношение углов и сторон

В любом треугольнике действует правило: напротив большего угла лежит большая сторона. В прямоугольном треугольнике самый большой угол — это прямой угол, равный 90°. Два других угла (назовем их $ \alpha $ и $ \beta $) являются острыми, то есть $ \alpha < 90^\circ $ и $ \beta < 90^\circ $. Гипотенуза лежит напротив прямого угла, а катеты — напротив острых углов. Так как прямой угол является наибольшим в треугольнике, то противолежащая ему сторона (гипотенуза) является самой длинной стороной. Следовательно, любой катет всегда меньше гипотенузы.

Доказательство через теорему Пифагора

Пусть $a$ и $b$ — это длины катетов, а $c$ — это длина гипотенузы. Согласно теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника справедливо равенство:

$a^2 + b^2 = c^2$

Из этой формулы мы можем сравнить длину катета (например, $a$) с длиной гипотенузы $c$.

Поскольку длина стороны треугольника всегда положительна, то $b > 0$, а значит $b^2 > 0$.

Рассмотрим равенство $c^2 = a^2 + b^2$. Так как к $a^2$ прибавляется положительное число ($b^2$), то результат ($c^2$) будет строго больше, чем $a^2$.

$c^2 > a^2$

Поскольку длины сторон $a$ и $c$ являются положительными числами, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:

$\sqrt{c^2} > \sqrt{a^2}$

$c > a$

Аналогично доказывается, что $c > b$. Таким образом, оба катета прямоугольного треугольника всегда меньше гипотенузы.

Ответ: гипотенузы.