Номер 3, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

3. Признаки параллелограмма.

Четырехугольник является параллелограммом, если у него:

1) две стороны ... и ...;

2) противоположные стороны ...;

3) диагонали точкой пересечения делятся ...

1) Это первый признак параллелограмма, который формулируется так: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Если у него сторона $AB$ равна стороне $CD$ ($AB = CD$) и сторона $AB$ параллельна стороне $CD$ ($AB \parallel CD$), то $ABCD$ является параллелограммом.
Доказательство: Проведем диагональ $AC$. Получим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.
Сторона $AC$ является общей. По условию $AB = CD$. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle BCA$ и $\angle CAD$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Из их равенства следует, что $BC \parallel AD$.
Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ по условию, $BC \parallel AD$ по доказанному), он является параллелограммом по определению.

Ответ: равны и параллельны.

2) Это второй признак параллелограмма: если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
То есть, если в четырехугольнике $ABCD$ выполняются равенства $AB = CD$ и $BC = AD$, то $ABCD$ — параллелограмм.
Доказательство: Проведем диагональ $AC$, которая разделит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.
Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как $AB = CD$ и $BC = AD$ по условию, а сторона $AC$ у них общая.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle CAD$.
Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Их равенство доказывает, что $AB \parallel CD$.
Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Их равенство доказывает, что $BC \parallel AD$.
Так как противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, он является параллелограммом по определению.

Ответ: попарно равны.

3) Это третий признак параллелограмма: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Пусть в четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и при этом $AO = OC$ и $BO = OD$.
Доказательство: Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.
Стороны $AO$ и $OC$ равны по условию ($AO = OC$). Стороны $BO$ и $OD$ также равны по условию ($BO = OD$). Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные.
Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$.
Углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ (или $\angle CAB$ и $\angle ACD$) являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны.
Итак, в четырехугольнике $ABCD$ две стороны ($AB$ и $CD$) равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: пополам.