Номер 6, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

6. Диагонали ромба взаимно ... и лежат на биссектрисах его углов.

6. В данном утверждении пропущено слово "перпендикулярны". Это одно из ключевых свойств диагоналей ромба. Полная формулировка свойства звучит так: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и лежат на биссектрисах его углов.

Приведем развернутое доказательство этого свойства.

Пусть дан ромб $ABCD$. По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Таким образом, $AB = BC = CD = DA$. Диагонали ромба $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как по определению ромба $AB = AD$, то треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

Ромб является частным случаем параллелограмма, поэтому его диагонали обладают свойством диагоналей параллелограмма: они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Это означает, что отрезок $AO$ в треугольнике $\triangle ABD$ является медианой, проведенной к основанию $BD$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, одновременно является высотой и биссектрисой.

• Поскольку $AO$ — это высота, она перпендикулярна основанию $BD$. Значит, $\angle AOB = 90^\circ$. Это доказывает, что диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны.
• Поскольку $AO$ — это биссектриса, она делит угол $\angle BAD$ пополам, то есть $\angle BAO = \angle DAO$. Это доказывает, что диагональ $AC$ лежит на биссектрисе угла $A$.

Аналогично, рассмотрев равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, можно доказать, что $BO$ является высотой и биссектрисой, а значит, диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Таким образом, доказывается все утверждение целиком.

Ответ: перпендикулярны.