Номер 4, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

4. Диагонали прямоугольника ...

Чтобы закончить утверждение "Диагонали прямоугольника ...", необходимо перечислить их основные свойства.

Равенство диагоналей

Диагонали прямоугольника равны между собой.
Доказательство: Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами AB = a и AD = b. Его диагоналями являются отрезки AC и BD. Треугольники ΔABD и ΔDCA являются прямоугольными и равными по двум катетам (AB = DC = a, AD — общий катет для ΔDAB, а AD = BC = b; правильнее рассмотреть ΔABD и ΔDCA, где AD - общая сторона). По теореме Пифагора для ΔABD: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + b^2$. Для ΔDCA: $AC^2 = DC^2 + AD^2 = a^2 + b^2$. Так как квадраты длин диагоналей равны, то равны и сами длины: $AC = BD$. Длина каждой диагонали равна $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Пересечение и деление пополам

Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.
Доказательство: Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, а у любого параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда AO = OC = AC/2 и BO = OD = BD/2. Учитывая, что AC = BD (из предыдущего свойства), получаем, что все четыре отрезка, на которые диагонали делятся точкой пересечения, равны: AO = BO = CO = DO.

Центр описанной окружности

Точка пересечения диагоналей равноудалена от всех вершин прямоугольника и является центром описанной около него окружности.
Это следует из того, что AO = BO = CO = DO. Расстояние от точки O до любой вершины одинаково и равно половине диагонали. Это расстояние является радиусом описанной окружности: $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$.

Деление на треугольники

Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника, которые попарно равны и являются равнобедренными.
При пересечении диагоналей AC и BD в точке O образуются треугольники ΔAOB, ΔBOC, ΔCOD и ΔDOA.
- Треугольники ΔAOB и ΔCOD равны между собой (по трем сторонам: AO=CO, BO=DO, AB=CD). Они являются равнобедренными, так как AO = BO.
- Треугольники ΔBOC и ΔDOA также равны между собой (по трем сторонам: BO=DO, CO=AO, BC=DA) и являются равнобедренными, так как BO = CO.

Ответ: Диагонали прямоугольника равны, в точке пересечения делятся пополам, делят прямоугольник на две пары равных равнобедренных треугольников, а точка их пересечения является центром симметрии прямоугольника и центром описанной около него окружности.