Номер 25, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

25. Для перпендикуляра и двух наклонных, проведенных из одной точки к данной прямой, и проекций наклонных на эту прямую справедливо: «Перпендикуляр меньше наклонной. Проекция наклонной меньше самой ... . Большей наклонной соответствует большая ..., равным ... — равные ...».

Для решения этой задачи необходимо проанализировать свойства перпендикуляра, наклонных и их проекций. Рассмотрим точку A, не лежащую на прямой l. Пусть AH — перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую l, а AB — наклонная, проведенная из той же точки A к прямой l. Отрезок HB является проекцией наклонной AB на прямую l. Треугольник ΔAHB — прямоугольный с прямым углом ∠AHB = 90°. В этом треугольнике AB — гипотенуза, а AH и HB — катеты. По теореме Пифагора, их длины связаны соотношением: $AB^2 = AH^2 + HB^2$. На основе этих соотношений заполним пропуски в утверждении.

Проекция наклонной меньше самой ... .

В этом предложении сравниваются длины проекции наклонной (HB) и самой наклонной (AB). В прямоугольном треугольнике ΔAHB гипотенуза (наклонная AB) всегда длиннее любого из катетов (в данном случае, проекции HB), при условии, что треугольник не вырожден (то есть, точка A не лежит на прямой l). Математически это выражается как $AB > HB$. Следовательно, пропущенное слово — «наклонной».

Ответ: наклонной.

Большей наклонной соответствует большая ..., равным ... — равные ...».

Эта часть утверждения устанавливает прямую зависимость между длинами наклонных и их проекций.

1. Рассмотрим случай, когда наклонные не равны. Пусть из точки A проведены две наклонные, AB₁ и AB₂, и их проекции равны HB₁ и HB₂. По теореме Пифагора: $AB_1^2 = AH^2 + HB_1^2$ и $AB_2^2 = AH^2 + HB_2^2$. Предположим, что одна наклонная больше другой, например, $AB₂ > AB₁$. Тогда $AB_2^2 > AB_1^2$. Подставив выражения из теоремы Пифагора, получим $AH^2 + HB_2^2 > AH^2 + HB_1^2$. Вычитая $AH^2$ из обеих частей неравенства, имеем $HB_2^2 > HB_1^2$. Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, отсюда следует, что $HB₂ > HB₁$. Таким образом, большей наклонной соответствует большая проекция.

2. Рассмотрим случай, когда наклонные равны. Если $AB₁ = AB₂$, то и $AB_1^2 = AB_2^2$. Следуя той же логике, $AH^2 + HB_1^2 = AH^2 + HB_2^2$, что приводит к равенству $HB_1^2 = HB_2^2$ и, следовательно, $HB₁ = HB₂$. Это означает, что равным наклонным соответствуют равные проекции. Вставляя слова в правильных грамматических формах, получаем: «равным наклонным — равные проекции».

Ответ: проекция, наклонным, проекции.

Таким образом, полностью завершенное утверждение выглядит следующим образом:

«Перпендикуляр меньше наклонной. Проекция наклонной меньше самой наклонной. Большей наклонной соответствует большая проекция, равным наклонным — равные проекции».