Номер 19, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

19. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от сторон угла (и находящихся внутри угла), — это ...

19. Искомое геометрическое место точек — это биссектриса угла.

Для доказательства этого утверждения, которое является свойством биссектрисы угла, необходимо доказать две взаимно обратные теоремы:

1. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

2. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.

Доказательство 1 (прямая теорема):

Пусть дан угол $\angle AOB$, а луч $OC$ — его биссектриса. Возьмем на биссектрисе произвольную точку $M$. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MP$ на сторону $OA$ и $MQ$ на сторону $OB$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$.
У них общая гипотенуза $OM$, а острые углы $\angle POM$ и $\angle QOM$ равны, так как $OC$ — биссектриса. Следовательно, $\triangle OPM = \triangle OQM$ по гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $MP = MQ$. Это означает, что точка $M$ равноудалена от сторон угла.

Доказательство 2 (обратная теорема):

Пусть точка $M$ лежит внутри угла $\angle AOB$ и равноудалена от его сторон. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MP$ на сторону $OA$ и $MQ$ на сторону $OB$. По условию, $MP = MQ$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$.
У них общая гипотенуза $OM$, а катеты $MP$ и $MQ$ равны по условию.
Следовательно, $\triangle OPM = \triangle OQM$ по гипотенузе и катету.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle POM = \angle QOM$. Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $\angle AOB$, и точка $M$ лежит на ней.

Таким образом, мы доказали, что геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от сторон угла и находящихся внутри него, полностью совпадает с биссектрисой этого угла.

Ответ: биссектриса угла.