Номер 14, страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

14. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине ...

Это утверждение является одним из ключевых свойств прямоугольного треугольника. Полностью формулировка теоремы звучит так: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Ниже представлено подробное доказательство этого факта двумя способами.

Доказательство (геометрический способ):

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$. Катет $BC$ лежит напротив угла в 30°. Гипотенуза — $AB$. Требуется доказать, что $BC = \frac{1}{2} AB$.

1. Построим треугольник $ADC$, равный треугольнику $ABC$, приложив его к стороне $AC$. Для этого на продолжении катета $BC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$, равный $BC$. Соединим точки $A$ и $D$.

2. Сравним треугольники $ABC$ и $ADC$. У них:
- Сторона $AC$ — общая.
- $BC = CD$ по построению.
- $\angle ACB = \angle ACD = 90^\circ$ (так как это смежные углы, и один из них прямой).

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников: двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов и сторон. Таким образом, $AB = AD$ и $\angle BAC = \angle DAC = 30^\circ$.

4. Рассмотрим получившийся треугольник $ABD$. Найдем его углы:
- $\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.
- В исходном $\triangle ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
- Таким образом, в $\triangle ABD$ два угла ($\angle BAD$ и $\angle ABD$) равны $60^\circ$. По теореме о сумме углов треугольника, третий угол $\angle ADB$ также равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

5. Поскольку все углы треугольника $ABD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны: $AB = BD = AD$.

6. По нашему построению, длина стороны $BD$ равна $BC + CD$. Так как $BC = CD$, то $BD = 2 \cdot BC$.

7. Сопоставляя результаты из пунктов 5 и 6, получаем равенство: $AB = 2 \cdot BC$.

Разделив обе части на 2, получаем требуемое: $BC = \frac{1}{2} AB$. Что и требовалось доказать.

Доказательство (тригонометрический способ):

Этот способ использует определение синуса угла в прямоугольном треугольнике.

Пусть снова дан прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$. Катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенузой.

По определению, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения:
$\sin(30^\circ) = \frac{BC}{AB}$

Значение синуса 30 градусов является табличной величиной: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Приравнивая два выражения, получаем:
$\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$

Отсюда, выражая $BC$, получаем:
$BC = \frac{1}{2} AB$.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: гипотенузы.