Номер 8, страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

8. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, ... .

Это утверждение является начальной частью одной из основных теорем евклидовой геометрии (планиметрии). Чтобы завершить его, нужно добавить заключение. Полностью теорема звучит так: на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Рассмотрим эту теорему подробнее и докажем её.

Доказательство

Пусть на плоскости даны три прямые: $a$, $b$ и $c$.
По условию, прямая $a$ перпендикулярна прямой $c$ (что обозначается как $a \perp c$), и прямая $b$ также перпендикулярна прямой $c$ (что обозначается как $b \perp c$).
Нам необходимо доказать, что прямые $a$ и $b$ параллельны друг другу (что обозначается как $a \parallel b$).

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Если две прямые на плоскости не параллельны, то они должны пересекаться в некоторой точке. Назовем эту точку $M$.

Таким образом, получается, что через точку $M$ проходят две различные прямые ($a$ и $b$), и по условию теоремы обе они перпендикулярны прямой $c$.

Это означает, что из одной точки $M$ к прямой $c$ проведены два различных перпендикуляра. Однако это невозможно, так как это противоречит одной из основных аксиом планиметрии, которая гласит: из любой точки плоскости, не лежащей на данной прямой, к этой прямой можно провести только один перпендикуляр. Если же точка $M$ лежит на прямой $c$, то через точку на прямой также можно провести лишь одну перпендикулярную ей прямую.

Мы пришли к противоречию. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение (о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются) было неверным.

Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться. По определению, две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Таким образом, мы доказали, что $a \parallel b$.

Итак, незаконченное утверждение "На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, ..." следует завершить словами "параллельны между собой".

Ответ: параллельны между собой.