Номер 10, страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

10. Сумма углов треугольника равна ...

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$ (ста восьмидесяти градусам).

Это фундаментальная теорема евклидовой геометрии. Ниже приведено ее классическое доказательство.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Нам необходимо доказать, что $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

1. Через вершину $B$ проведем прямую $l$, параллельную стороне $AC$.

2. Угол, образованный на прямой $l$ в точке $B$, является развернутым, то есть равен $180^\circ$. Этот угол состоит из трех частей: угла $\beta$ (внутреннего угла треугольника) и двух углов по его сторонам, которые мы обозначим $\angle 1$ и $\angle 2$. Таким образом, $\angle 1 + \beta + \angle 2 = 180^\circ$.

3. Прямая $AB$ является секущей для параллельных прямых $l$ и $AC$. Углы $\angle 1$ и $\alpha$ являются внутренними накрест лежащими, следовательно, по свойству параллельных прямых, они равны: $\angle 1 = \alpha$.

4. Аналогично, прямая $BC$ является секущей для тех же параллельных прямых $l$ и $AC$. Углы $\angle 2$ и $\gamma$ также являются внутренними накрест лежащими, поэтому они равны: $\angle 2 = \gamma$.

5. Подставим равенства из пунктов 3 и 4 в равенство из пункта 2: вместо $\angle 1$ подставляем $\alpha$, а вместо $\angle 2$ — $\gamma$. Получаем итоговое выражение: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Теорема доказана.

Следует отметить, что этот результат справедлив для треугольников на плоскости (в евклидовой геометрии). В геометрии на искривленных поверхностях, например, на сфере (сферическая геометрия Римана) или на гиперболоиде (гиперболическая геометрия Лобачевского), сумма углов треугольника не равна $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.