Номер 6, страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

6. В равнобедренном треугольнике углы при основании ..., а биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является его ... и ... .

Это утверждение состоит из двух частей, которые являются основными свойствами равнобедренного треугольника. Разберем каждую часть отдельно.

В равнобедренном треугольнике углы при основании ...

По определению, равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

Свойство углов равнобедренного треугольника гласит, что углы, противолежащие равным сторонам (то есть углы при основании), равны.

Докажем это. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB = BC$. Проведем биссектрису $BD$ из вершины $B$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

• $AB = BC$ (по условию, так как треугольник равнобедренный).
• $\angle ABD = \angle CBD$ (по построению, так как $BD$ — биссектриса).
• Сторона $BD$ — общая.

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle BAD = \angle BCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: равны.

... а биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является его ... и ... .

Это свойство является одним из важнейших для равнобедренного треугольника. Оно гласит, что биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой и высотой.

Продолжим рассмотрение доказательства из предыдущего пункта. Мы уже установили, что если $BD$ — биссектриса, проведенная к основанию $AC$ в равнобедренном треугольнике $ABC$, то $\triangle ABD = \triangle CBD$.

Из равенства этих треугольников следует:

1. Равенство сторон: $AD = CD$. Это означает, что точка $D$ делит основание $AC$ пополам. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой. Таким образом, биссектриса $BD$ является медианой.
2. Равенство углов: $\angle ADB = \angle CDB$. Эти углы — смежные, их сумма равна $180^\circ$. Так как они равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что отрезок $BD$ перпендикулярен основанию $AC$. Отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой. Таким образом, биссектриса $BD$ является также и высотой.

Следовательно, пропуски нужно заполнить словами "медианой" и "высотой".

Ответ: медианой, высотой.