Тест 2, страница 206 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Найдите:

а) координаты $ \overrightarrow{OA} $ и $ \overrightarrow{BC} $;

б) $ |\overrightarrow{BC}| $;

в) $ \angle(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{BC}) $.

а) координаты $\vec{OA}$ и $\vec{BC}$;
Для нахождения координат векторов определим сначала координаты их начальных и конечных точек. Примем, что одна клетка на координатной плоскости соответствует единице.

Начало координат находится в точке $O(0; 0)$.

Координаты конечных точек векторов по графику: $A(2; 3)$, $B(-3; 3)$, $C(-1; 1)$.
Координаты вектора, идущего из точки $(x_1, y_1)$ в точку $(x_2, y_2)$, находятся как разность соответствующих координат: $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.
Для вектора $\vec{OA}$ его начало в точке $O(0; 0)$, а конец в точке $A(2; 3)$. Его координаты:

$\vec{OA} = (2 - 0; 3 - 0) = (2; 3)$.
Для вектора $\vec{BC}$ его начало в точке $B(-3; 3)$, а конец в точке $C(-1; 1)$. Его координаты:

$\vec{BC} = (-1 - (-3); 1 - 3) = (-1 + 3; -2) = (2; -2)$.
Ответ: $\vec{OA}\{2; 3\}$, $\vec{BC}\{2; -2\}$.

б) $|\vec{BC}|$;
Длина (модуль) вектора $\vec{a}\{x; y\}$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Координаты вектора $\vec{BC}$ равны $\{2; -2\}$.

Подставим эти значения в формулу:

$|\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{2}$.

в) $\angle(\vec{OA}; \vec{BC})$.
Угол $\alpha$ между векторами $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ находится через косинус угла, используя скалярное произведение:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$.
У нас есть векторы $\vec{OA}\{2; 3\}$ и $\vec{BC}\{2; -2\}$.
1. Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{OA} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-2) = 4 - 6 = -2$.
2. Вычислим длину вектора $\vec{OA}$:

$|\vec{OA}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
3. Длина вектора $\vec{BC}$ была найдена в пункте б): $|\vec{BC}| = 2\sqrt{2}$.
4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\angle(\vec{OA}; \vec{BC})) = \frac{-2}{\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{26}}$.
Следовательно, угол между векторами равен арккосинусу этого значения:

$\angle(\vec{OA}; \vec{BC}) = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)$.
Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)$.