номер 382, страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

382. Начертите равносторонний треугольник $ABC$. Постройте фигуру, в которую перейдет этот треугольник при повороте его на $60^\circ$ по часовой стрелке около точки $A$.

Для решения задачи необходимо сначала начертить равносторонний треугольник $ABC$, а затем выполнить его поворот. Поворот фигуры осуществляется путем поворота каждой ее ключевой точки (в данном случае — вершин) на заданный угол вокруг центра поворота.

1. Построение исходного треугольника и анализ

Начертим равносторонний треугольник $ABC$. В равностороннем треугольнике все стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны $60^\circ$ ($\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ$). Центром поворота является вершина $A$, а угол поворота составляет $60^\circ$ по часовой стрелке.

2. Нахождение образов вершин при повороте

Найдем, в какие точки перейдут вершины треугольника $A, B, C$ при заданном повороте. Обозначим образы вершин как $A_1, B_1, C_1$.

• Вершина A: Так как точка $A$ является центром поворота, она отображается сама на себя. Таким образом, $A_1 = A$.

• Вершина B: Точка $B$ должна перейти в точку $B_1$ так, чтобы выполнялись два условия: 1) расстояние до центра поворота сохраняется, то есть $AB_1 = AB$; 2) угол поворота составляет $60^\circ$ по часовой стрелке, то есть $\angle BAB_1 = 60^\circ$. В исходном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна стороне $AB$ ($AC = AB$) и угол между ними $\angle BAC$ равен $60^\circ$. Если смотреть от отрезка $AB$ по часовой стрелке, то отрезок $AC$ как раз находится под углом $60^\circ$. Следовательно, при повороте на $60^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $A$, вершина $B$ перейдет в вершину $C$. Таким образом, $B_1 = C$.

• Вершина C: Точка $C$ должна перейти в точку $C_1$ так, чтобы $AC_1 = AC$ и угол $\angle CAC_1 = 60^\circ$ (по часовой стрелке). Для построения этой точки нужно от луча $AC$ отложить угол $60^\circ$ по часовой стрелке и на новом луче отложить отрезок $AC_1$, равный по длине $AC$.

3. Построение итоговой фигуры

Соединив новые вершины $A_1, B_1, C_1$, мы получим искомую фигуру. Так как $A_1 = A$ и $B_1 = C$, то новый треугольник — это $ACC_1$.

Пошаговое построение:

1. Начертите равносторонний треугольник $ABC$.
2. От луча $AC$ с помощью транспортира отложите угол в $60^\circ$ по часовой стрелке.
3. На построенном луче от точки $A$ отложите отрезок $AC_1$, равный по длине стороне $AC$.
4. Соедините точки $A$, $C$ и $C_1$. Треугольник $ACC_1$ является искомой фигурой.

Поскольку поворот — это движение, он сохраняет расстояния между точками. Следовательно, треугольник $ACC_1$ равен исходному треугольнику $ABC$, а значит, он также является равносторонним.

Ответ: Фигура, в которую перейдет треугольник $ABC$ при повороте его на $60^\circ$ по часовой стрелке около точки $A$, — это равносторонний треугольник $ACC_1$. При этом вершина $B$ переходит в вершину $C$, а вершина $C$ — в новую точку $C_1$.