Номер 376, страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

376. Докажите, что при движении параллелограмм преобразуется в равный ему параллелограмм.

Пусть дан произвольный параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны попарно параллельны, то есть $AB \parallel DC$ и $BC \parallel AD$.

Рассмотрим произвольное движение (изометрию). При этом движении вершины $A, B, C, D$ переходят в точки $A', B', C', D'$ соответственно. Таким образом, параллелограмм $ABCD$ преобразуется в четырехугольник $A'B'C'D'$.

Сначала докажем, что полученный четырехугольник $A'B'C'D'$ также является параллелограммом. Движение — это преобразование, которое сохраняет прямые и параллельность прямых. Поскольку в исходном параллелограмме стороны попарно параллельны ($AB \parallel DC$ и $BC \parallel AD$), их образы при движении также будут попарно параллельны. То есть, прямая $A'B'$ будет параллельна прямой $D'C'$, а прямая $B'C'$ будет параллельна прямой $A'D'$. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, по определению является параллелограммом. Следовательно, $A'B'C'D'$ — это параллелограмм.

Теперь докажем, что полученный параллелограмм $A'B'C'D'$ равен исходному параллелограмму $ABCD$. Две фигуры считаются равными, если у них равны все соответствующие стороны и все соответствующие углы. Проверим выполнение этих условий.

1. По определению, движение сохраняет расстояния между точками. Следовательно, длины сторон нового параллелограмма равны длинам соответствующих сторон исходного:

$A'B' = AB$, $B'C' = BC$, $C'D' = CD$ и $D'A' = DA$.

2. Движение также сохраняет величины углов. Это означает, что углы нового параллелограмма равны соответствующим углам исходного:

$\angle A' = \angle A$, $\angle B' = \angle B$, $\angle C' = \angle C$ и $\angle D' = \angle D$.

Поскольку у параллелограммов $ABCD$ и $A'B'C'D'$ все соответствующие стороны и все соответствующие углы равны, то эти параллелограммы являются равными.

Таким образом, мы доказали, что при движении параллелограмм преобразуется в равный ему параллелограмм.

Ответ: Доказано, что при любом движении образом параллелограмма является равный ему параллелограмм.