номер 370, страница 197 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

370. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH = 4$, $AH = 4$, $HC = 6$. Используя координатный метод, найдите медиану $AM$ треугольника $ABC$.

Для решения задачи координатным методом введем прямоугольную систему координат. Удобнее всего совместить основание высоты H с началом координат, а прямую AC — с осью абсцисс (осью Ox). Тогда высота BH будет лежать на оси ординат (оси Oy).

1. Найдем координаты вершин треугольника ABC.

Поскольку точка H является началом координат, ее координаты $H(0; 0)$.

Точки A и C лежат на оси Ox. Так как треугольник ABC остроугольный, основание высоты H лежит между точками A и C. Разместим точку A в отрицательной части оси Ox, а точку C — в положительной.

Длина отрезка AH равна 4, значит, координата точки A по оси x равна -4. Координаты точки A: $A(-4; 0)$.

Длина отрезка HC равна 6, значит, координата точки C по оси x равна 6. Координаты точки C: $C(6; 0)$.

Точка B лежит на оси Oy. Длина высоты BH равна 4, значит, координата точки B по оси y равна 4. Координаты точки B: $B(0; 4)$.

Итак, мы имеем координаты вершин треугольника: $A(-4; 0)$, $B(0; 4)$, $C(6; 0)$.

2. Найдем координаты точки M.

Медиана AM соединяет вершину A с серединой противоположной стороны BC. Точка M является серединой отрезка BC. Координаты середины отрезка находятся по формулам:

$x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$ и $y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$.

Подставим координаты точек B и C:

$x_M = \frac{0 + 6}{2} = 3$
$y_M = \frac{4 + 0}{2} = 2$

Таким образом, координаты точки M: $M(3; 2)$.

3. Найдем длину медианы AM.

Длина отрезка (расстояние между двумя точками) с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Найдем длину отрезка AM, используя координаты точек $A(-4; 0)$ и $M(3; 2)$:

$AM = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(3 + 4)^2 + 2^2} = \sqrt{7^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$.

Ответ: $\sqrt{53}$.