Номер 366, страница 194 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

366. Найдите, при каком значении числа k перпендикулярны векторы:

а) $\vec{a}(-4; 2)$ и $\vec{b}(6; k)$;

б) $\vec{c}(k; 3)$ и $\vec{d}(k; -12)$.

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{v_1}(x_1; y_1)$ и $\vec{v_2}(x_2; y_2)$ находится по формуле: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = x_1x_2 + y_1y_2$.

а)

Даны векторы $\vec{a}(-4; 2)$ и $\vec{b}(6; k)$.

Чтобы они были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Подставим координаты векторов в формулу скалярного произведения:

$(-4) \cdot 6 + 2 \cdot k = 0$

Решим полученное уравнение:

$-24 + 2k = 0$

$2k = 24$

$k = \frac{24}{2}$

$k = 12$

Ответ: $k=12$.

б)

Даны векторы $\vec{c}(k; 3)$ и $\vec{d}(k; -12)$.

Условие перпендикулярности: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$.

Подставим координаты в формулу скалярного произведения:

$k \cdot k + 3 \cdot (-12) = 0$

Решим уравнение относительно $k$:

$k^2 - 36 = 0$

$k^2 = 36$

$k = \pm\sqrt{36}$

$k_1 = 6$, $k_2 = -6$

Ответ: $k=6$ или $k=-6$.