Номер 361, страница 193 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

361. Векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны. Докажите, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

По условию задачи векторы $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$ перпендикулярны. Два вектора считаются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Запишем это математически:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

Воспользуемся свойством дистрибутивности скалярного произведения и раскроем скобки. Это аналогично формуле разности квадратов в алгебре:

$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

Скалярное произведение обладает свойством коммутативности, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$. Поэтому два средних члена в полученном выражении взаимно уничтожаются: $-\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$.

Таким образом, равенство упрощается до вида:

$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

Вспомним, что скалярный квадрат вектора (скалярное произведение вектора на самого себя) равен квадрату его модуля (длины): $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$. Применим это свойство к нашему равенству:

$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$

Перенесем $|\vec{b}|^2$ в правую часть:

$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$

Поскольку модуль вектора — это его длина, он не может быть отрицательным ($|\vec{a}| \ge 0$ и $|\vec{b}| \ge 0$). Следовательно, из равенства квадратов модулей следует равенство самих модулей. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|\vec{a}| = |\vec{b}|$

Что и требовалось доказать.

Геометрическая интерпретация: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенные от одной точки, образуют стороны параллелограмма. В этом случае вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ и вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ являются диагоналями этого параллелограмма. Условие, что эти векторы-диагонали перпендикулярны, означает, что параллелограмм является ромбом. А у ромба, по определению, все стороны равны. Следовательно, длины векторов-сторон равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Ответ: Равенство $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ доказано.