Тест 1, страница 190 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

Найдите скалярное произведение векторов, изображенных на рисунке.

Для решения задачи найдем координаты векторов в заданной системе координат, а затем вычислим их скалярное произведение.

1. Определение координат векторов

Примем точку A за начало координат (0, 0).

Из рисунка видно, что единичный отрезок, обозначенный как "1", соответствует двум клеткам сетки. Это означает, что длина одной клетки составляет 0.5 единицы.

Найдем координаты вектора $\vec{AC}$. Его конец, точка C, смещен относительно начала, точки A, на 6 клеток вправо по горизонтали и на 0 клеток по вертикали.

Таким образом, координаты вектора $\vec{AC}$ в единицах измерения сетки равны (6, 0).

Переведем в заданные единицы длины:

$x_1 = 6 \cdot 0.5 = 3$

$y_1 = 0 \cdot 0.5 = 0$

Следовательно, вектор $\vec{AC}$ имеет координаты $\{3; 0\}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Его конец, точка B, смещен относительно точки A на 4 клетки вправо по горизонтали и на 3 клетки вверх по вертикали.

Координаты вектора $\vec{AB}$ в единицах измерения сетки равны (4, 3).

Переведем в заданные единицы длины:

$x_2 = 4 \cdot 0.5 = 2$

$y_2 = 3 \cdot 0.5 = 1.5$

Следовательно, вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $\{2; 1.5\}$.

2. Вычисление скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}=\{x_a; y_a\}$ и $\vec{b}=\{x_b; y_b\}$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$

Подставим координаты наших векторов $\vec{AC}=\{3; 0\}$ и $\vec{AB}=\{2; 1.5\}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2 \cdot 3) + (1.5 \cdot 0) = 6 + 0 = 6$

Ответ: 6