Номер 354, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

354. Дан треугольник $ABC$, где $A(4; -6)$, $B(-2; 0)$, $C(8; 2)$. Найдите:

а) координаты точки $K$, зная, что $K$ — середина стороны $AB$;

б) координаты и длину вектора $\vec{BM}$, зная, что $M$ — середина стороны $AC$.

а) Координаты точки K, являющейся серединой стороны AB, вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат точек A(4; -6) и B(-2; 0). Формула для нахождения координат середины отрезка $(x_K; y_K)$: $x_K = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_K = \frac{y_A + y_B}{2}$.

Подставляем значения координат точек A и B:

$x_K = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_K = \frac{-6 + 0}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, координаты точки K равны (1; -3).

Ответ: K(1; -3).

б) Сначала найдем координаты точки M, которая является серединой стороны AC. Используем координаты точек A(4; -6) и C(8; 2).

Координата $x_M$ равна: $x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Координата $y_M$ равна: $y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Итак, точка M имеет координаты (6; -2).

Теперь найдем координаты вектора $\overrightarrow{BM}$. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала. В данном случае, конец - это точка M(6; -2), а начало - точка B(-2; 0).

Координаты вектора $\overrightarrow{BM}$ равны: $(x_M - x_B; y_M - y_B) = (6 - (-2); -2 - 0) = (8; -2)$.

Длина (или модуль) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Найдем длину вектора $\overrightarrow{BM}\{8; -2\}$.

$|\overrightarrow{BM}| = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}$.

Упростим полученное значение: $\sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$.

Ответ: координаты вектора $\overrightarrow{BM}$ равны {8; -2}, а его длина равна $2\sqrt{17}$.