Номер 352, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

352. Даны векторы $\vec{a}(3; 4)$, $\vec{b}(-1; 2)$. Найдите:

a) $\left|\vec{a}\right|, \left|\vec{b}\right|$;

б) $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|, \left|\vec{a}-\vec{b}\right|$.

а) Модуль (или длина) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Найдем модуль вектора $\vec{a}(3; 4)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем модуль вектора $\vec{b}(-1; 2)$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $|\vec{a}| = 5$; $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

б) Сначала найдем координаты векторов $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$. Сложение и вычитание векторов с заданными координатами производятся покоординатно.

Найдем вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-1); 4 + 2) = (2; 6)$.

Теперь найдем модуль этого вектора:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

Найдем вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (3 - (-1); 4 - 2) = (4; 2)$.

Теперь найдем модуль этого вектора:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $|\vec{a} + \vec{b}| = 2\sqrt{10}$; $|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{5}$.