Номер 346, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

346. Укажите среди векторов $\vec{a}(-2; 1)$, $\vec{b}(5; 10)$, $\vec{c}(-6; 3)$, $\vec{d}(\frac{1}{2}; 1)$, $\vec{e}(10; -5)$ пары коллинеарных векторов.

Два ненулевых вектора $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что выполняется равенство $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, или, что равносильно (при $x_1 \neq 0$, $y_1 \neq 0$, $x_2 \neq 0$, $y_2 \neq 0$), отношению $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1}$.

Проверим попарно данные векторы $\vec{a}(-2; 1)$, $\vec{b}(5; 10)$, $\vec{c}(-6; 3)$, $\vec{d}(\frac{1}{2}; 1)$, $\vec{e}(10; -5)$ на коллинеарность.

1. Сравним векторы $\vec{a}(-2; 1)$ и $\vec{c}(-6; 3)$. Найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{x_c}{x_a} = \frac{-6}{-2} = 3$ и $\frac{y_c}{y_a} = \frac{3}{1} = 3$.

Так как отношения равны ($3=3$), векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны.

2. Сравним векторы $\vec{a}(-2; 1)$ и $\vec{e}(10; -5)$. Отношения их координат:

$\frac{x_e}{x_a} = \frac{10}{-2} = -5$ и $\frac{y_e}{y_a} = \frac{-5}{1} = -5$.

Так как отношения равны ($-5=-5$), векторы $\vec{a}$ и $\vec{e}$ коллинеарны.

3. Так как векторы $\vec{c}$ и $\vec{e}$ коллинеарны одному и тому же вектору $\vec{a}$, они коллинеарны и между собой. Это можно проверить и напрямую, сравнив векторы $\vec{c}(-6; 3)$ и $\vec{e}(10; -5)$:

$\frac{x_e}{x_c} = \frac{10}{-6} = -\frac{5}{3}$ и $\frac{y_e}{y_c} = \frac{-5}{3}$.

Отношения равны, что подтверждает коллинеарность векторов $\vec{c}$ и $\vec{e}$.

4. Сравним векторы $\vec{b}(5; 10)$ и $\vec{d}(\frac{1}{2}; 1)$. Отношения их координат:

$\frac{x_d}{x_b} = \frac{1/2}{5} = \frac{1}{10}$ и $\frac{y_d}{y_b} = \frac{1}{10}$.

Так как отношения равны ($\frac{1}{10}=\frac{1}{10}$), векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ коллинеарны.

Остальные пары векторов не являются коллинеарными. Например, для векторов $\vec{a}(-2; 1)$ и $\vec{b}(5; 10)$ отношения координат не равны: $\frac{5}{-2} \neq \frac{10}{1}$.

Таким образом, мы нашли следующие пары коллинеарных векторов: $(\vec{a}, \vec{c})$, $(\vec{a}, \vec{e})$, $(\vec{c}, \vec{e})$ и $(\vec{b}, \vec{d})$.

Ответ: Парами коллинеарных векторов являются: $(\vec{a}, \vec{c})$, $(\vec{a}, \vec{e})$, $(\vec{c}, \vec{e})$, $(\vec{b}, \vec{d})$.