Номер 340, страница 181 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

340. Дан треугольник ABC, на стороне BC взята точка K. Выразите век-

тор $\vec{AK}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, если:

a) $BK : KC = 2 : 1$;

б) $BK : KC = m : n$.

а) Чтобы выразить вектор $\vec{AK}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника), согласно которому вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, равен их сумме. Представим вектор $\vec{AK}$ как сумму векторов, идущих из точки A в точку K через точку B:
$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK}$.
Точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому векторы $\vec{BK}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны и сонаправлены. Из условия $BK : KC = 2:1$ следует, что длина отрезка $BC$ разделена на $2+1=3$ равные части, и длина отрезка $BK$ составляет две из этих частей. Таким образом, отношение длин отрезков $BK$ и $BC$ равно $\frac{BK}{BC} = \frac{2}{3}$.
Поскольку векторы сонаправлены, это соотношение справедливо и для векторов:
$\vec{BK} = \frac{2}{3}\vec{BC}$.
Вектор $\vec{BC}$ можно выразить через заданные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ по правилу вычитания векторов (или правилу треугольника $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$):
$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.
Подставим это выражение в формулу для $\vec{BK}$:
$\vec{BK} = \frac{2}{3}(\vec{AC} - \vec{AB})$.
Наконец, подставим полученное выражение для $\vec{BK}$ в исходную формулу для $\vec{AK}$ и упростим:
$\vec{AK} = \vec{AB} + \frac{2}{3}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC} - \frac{2}{3}\vec{AB} = (1 - \frac{2}{3})\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}$.

б) Решение для общего случая, когда $BK : KC = m : n$, проводится по той же логической схеме, что и в пункте а). Это известная формула деления отрезка в заданном отношении для векторов.
Запишем вектор $\vec{AK}$ по правилу треугольника:
$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK}$.
Из отношения $BK : KC = m : n$ следует, что весь отрезок $BC$ состоит из $m+n$ равных частей, и отрезок $BK$ занимает $m$ таких частей. Значит, отношение длины $BK$ к длине $BC$ равно $\frac{BK}{BC} = \frac{m}{m+n}$.
Так как векторы $\vec{BK}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, то:
$\vec{BK} = \frac{m}{m+n}\vec{BC}$.
Вектор $\vec{BC}$ выражается как разность $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.
Подставляем это в выражение для $\vec{BK}$:
$\vec{BK} = \frac{m}{m+n}(\vec{AC} - \vec{AB})$.
Теперь подставляем это в исходную формулу для $\vec{AK}$:
$\vec{AK} = \vec{AB} + \frac{m}{m+n}(\vec{AC} - \vec{AB})$.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$\vec{AK} = \vec{AB} + \frac{m}{m+n}\vec{AC} - \frac{m}{m+n}\vec{AB} = (1 - \frac{m}{m+n})\vec{AB} + \frac{m}{m+n}\vec{AC} = (\frac{m+n-m}{m+n})\vec{AB} + \frac{m}{m+n}\vec{AC} = \frac{n}{m+n}\vec{AB} + \frac{m}{m+n}\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{AK} = \frac{n}{m+n}\vec{AB} + \frac{m}{m+n}\vec{AC}$.