Номер 338, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

338. Пловец переплывает реку перпендикулярно берегу со скоростью $3\sqrt{3} \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, течение сносит его со скоростью $3 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$. С какой скоростью и под каким углом к берегу плывет пловец?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$\vec{v}_{рез}$ — скорость пловца относительно берега (результирующая скорость). По условию, она перпендикулярна берегу и ее модуль $v_{рез} = 3\sqrt{3}$ км/ч.
$\vec{v}_{теч}$ — скорость течения реки. По условию, она направлена вдоль берега и ее модуль $v_{теч} = 3$ км/ч.
$\vec{v}_{пл}$ — собственная скорость пловца (скорость относительно воды). Именно ее модуль и направление нам нужно найти.

Результирующая скорость является векторной суммой собственной скорости пловца и скорости течения:

$\vec{v}_{рез} = \vec{v}_{пл} + \vec{v}_{теч}$

Отсюда можно выразить собственную скорость пловца:

$\vec{v}_{пл} = \vec{v}_{рез} - \vec{v}_{теч}$

Поскольку пловец переплывает реку перпендикулярно берегу, а течение направлено вдоль берега, векторы $\vec{v}_{рез}$ и $\vec{v}_{теч}$ взаимно перпендикулярны. Это означает, что векторы $\vec{v}_{пл}$, $\vec{v}_{рез}$ и $\vec{v}_{теч}$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $\vec{v}_{пл}$ является гипотенузой, а $\vec{v}_{рез}$ и $-\vec{v}_{теч}$ — катетами (или, что то же самое для модулей, $v_{пл}$ - гипотенуза, $v_{рез}$ и $v_{теч}$ - катеты).

С какой скоростью плывет пловец?

Модуль скорости пловца (его собственную скорость) можно найти по теореме Пифагора для этого треугольника скоростей:

$v_{пл}^2 = v_{рез}^2 + v_{теч}^2$

Подставим известные значения:

$v_{пл} = \sqrt{v_{рез}^2 + v_{теч}^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{9 \cdot 3 + 9} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$ км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

Под каким углом к берегу плывет пловец?

Чтобы переплыть реку строго перпендикулярно берегу, пловец должен плыть под некоторым углом против течения, компенсируя снос. Найдем этот угол $\alpha$ относительно берега (линии, параллельной вектору скорости течения).

В нашем прямоугольном треугольнике скоростей угол $\alpha$ между направлением пловца ($\vec{v}_{пл}$) и направлением, обратным течению ($-\vec{v}_{теч}$), можно найти через тригонометрические функции. Удобнее найти угол $\alpha$ между вектором $\vec{v}_{пл}$ и направлением течения. Пусть берег и течение направлены по оси Ox.

Синус этого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $v_{рез}$ к гипотенузе $v_{пл}$:

$\sin(\alpha) = \frac{v_{рез}}{v_{пл}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Косинус этого угла $\alpha$ равен отношению прилежащего катета (компоненты скорости пловца против течения, равной по модулю $-v_{теч}$) к гипотенузе $v_{пл}$:

$\cos(\alpha) = \frac{-v_{теч}}{v_{пл}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а косинус равен $-\frac{1}{2}$, составляет $120^\circ$. Этот угол отсчитывается от направления течения.

Если же под углом к берегу понимать острый угол, то он будет отсчитываться от направления, противоположного течению, и будет равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Таким образом, пловец должен плыть под углом $60^\circ$ к линии берега против течения.

Ответ: под углом $120^\circ$ к направлению течения (или $60^\circ$ к берегу против течения).