Номер 336, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

336. а) Дан параллелограмм $ABCD$, $M$ — произвольная точка плоскости. Докажите, что $ \vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD} $.

б) $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, $M$ — середина стороны $AB$, $N$ — середина стороны $CD$. Докажите, что $ \vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD}) $.

а)

Докажем равенство $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}$.

Для этого преобразуем его, перенеся векторы:

$\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MD} - \overrightarrow{MC}$.

Используя правило вычитания векторов ($\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{Y} - \overrightarrow{X}$, где $\overrightarrow{X}$ и $\overrightarrow{Y}$ - радиус-векторы точек), получим:

$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны и равны по длине. Однако как векторы они противоположно направлены, то есть $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

Если мы умножим обе части этого равенства на $-1$, получим:

$-\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{DC}$.

Зная, что $-\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{YX}$, получаем:

$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$.

Это тождество верно для любого параллелограмма. Поскольку все преобразования были эквивалентными, исходное равенство также верно.

Другой способ доказательства:

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, $O$ является серединой как отрезка $AC$, так и отрезка $BD$.

Для любой точки $M$ и отрезка $AC$ с серединой $O$ справедливо векторное равенство: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MO}$.

Аналогично, для отрезка $BD$ с серединой $O$ справедливо: $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MO}$.

Приравнивая правые части этих равенств, получаем:

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Для доказательства воспользуемся методом радиус-векторов. Выберем произвольную точку $O$ в пространстве в качестве начала отсчета. Тогда для любой точки $X$ ее положение будет задаваться радиус-вектором $\overrightarrow{OX}$.

По определению, вектор, соединяющий две точки $X$ и $Y$, выражается как разность их радиус-векторов: $\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}$.

Поскольку $M$ — середина стороны $AB$, ее радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ можно выразить через радиус-векторы точек $A$ и $B$:

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

Аналогично, поскольку $N$ — середина стороны $CD$, ее радиус-вектор $\overrightarrow{ON}$ выражается через радиус-векторы точек $C$ и $D$:

$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$.

Теперь найдем вектор $\overrightarrow{MN}$, используя разность радиус-векторов точек $M$ и $N$:

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем слагаемые:

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}((\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB}))$.

Заметим, что по правилу вычитания векторов:

$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BD}$

Подставим эти выражения обратно в формулу для $\overrightarrow{MN}$:

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.