Номер 329, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

329. Дан равносторонний треугольник ABC со стороной, равной 4. Найдите:

а) $\left| \vec{AB} + \vec{BC} \right|$;

б) $\left| \vec{AB} - \vec{AC} \right|$;

в) $\left| \vec{BC} + \vec{CA} + \vec{AB} \right|$;

г) $\left| \vec{AB} + \vec{AC} \right|$.

Дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 4. Это означает, что длины всех его сторон равны 4, а все углы равны $60^\circ$. Таким образом, $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = 4$.

а)

Для нахождения модуля суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника). Суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, где начало второго вектора совпадает с концом первого, является вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго.

Таким образом, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Следовательно, нам нужно найти модуль вектора $\vec{AC}$: $|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}|$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний со стороной 4, длина стороны $AC$ равна 4. Значит, $|\vec{AC}| = 4$.

Ответ: 4

б)

Для нахождения модуля разности векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ воспользуемся правилом вычитания векторов. Разностью векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, выходящих из одной точки $A$, является вектор, который начинается в конце вычитаемого вектора ($\vec{AC}$) и заканчивается в конце уменьшаемого вектора ($\vec{AB}$).

Таким образом, $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.

Следовательно, нам нужно найти модуль вектора $\vec{CB}$: $|\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{CB}|$.

Длина вектора $\vec{CB}$ равна длине стороны $CB$ равностороннего треугольника, которая по условию равна 4.

Ответ: 4

в)

Рассмотрим сумму векторов $\vec{BC} + \vec{CA} + \vec{AB}$. Это сумма векторов, образующих замкнутый контур. Для их сложения применим правило многоугольника (или последовательное сложение по правилу треугольника).

Сначала сложим первые два вектора: $\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$.

Теперь к результату прибавим третий вектор: $(\vec{BC} + \vec{CA}) + \vec{AB} = \vec{BA} + \vec{AB}$.

Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{AB}$ являются противоположными, так как их длины равны, а направления противоположны. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору: $\vec{BA} + \vec{AB} = \vec{0}$.

Таким образом, $|\vec{BC} + \vec{CA} + \vec{AB}| = |\vec{0}| = 0$.

Ответ: 0

г)

Для нахождения модуля суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ можно воспользоваться правилом параллелограмма или теоремой косинусов для векторов. Воспользуемся вторым способом, используя скалярное произведение. Модуль вектора в квадрате равен скалярному квадрату этого вектора.

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB}^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + \vec{AC}^2$.

Используя определение скалярного произведения, получаем:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos(\alpha) + |\vec{AC}|^2$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из вершины $A$ равностороннего треугольника, поэтому угол между ними равен $\alpha = \angle BAC = 60^\circ$. Длины векторов равны 4.

Подставляем значения:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) + 4^2$.

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, вычисляем:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = 16 + 2 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} + 16 = 16 + 16 + 16 = 48$.

Тогда искомый модуль равен:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$