Тест 1, страница 178 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

Какое утверждение неверно для рисунка:

1) $ \vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA} $;

2) $ \vec{BA} = \vec{CA} - \vec{CB} $;

3) $ \vec{CA} + \vec{CB} = \vec{BA} $;

4) $ \vec{CA} - \vec{BA} = \vec{CB} $?

Для решения этой задачи необходимо проверить каждое утверждение, используя правила сложения и вычитания векторов на плоскости.

Основное правило сложения векторов (правило треугольника): для любых трех точек P, Q, R справедливо равенство $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$. Это означает, что если последовательно переместиться из точки P в Q, а затем из Q в R, то итоговое перемещение будет из P в R.

Также используются следующие свойства: правило вычитания векторов $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ и свойство противоположного вектора $\vec{PQ} = -\vec{QP}$.

1) $\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA}$

Рассмотрим правую часть равенства: $\vec{CB} + \vec{BA}$. Согласно правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов, идущих "встык" (конец первого совпадает с началом второго), равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго. В данном случае, мы движемся из точки C в B, а затем из B в A. Итоговый вектор будет направлен из C в A, то есть это вектор $\vec{CA}$.

Таким образом, равенство $\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA}$ является верным применением правила треугольника.

Ответ: Утверждение верно.

2) $\vec{BA} = \vec{CA} - \vec{CB}$

Преобразуем это равенство. Перенесем вектор $\vec{CB}$ в левую часть (сменив знак):

$\vec{BA} + \vec{CB} = \vec{CA}$

Поменяем слагаемые в левой части местами (от перестановки слагаемых сумма не меняется):

$\vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}$

Мы получили равенство из пункта 1, которое является верным. Следовательно, исходное утверждение также верно. Другой способ проверки — правило вычитания векторов с общим началом: разность векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ (оба выходят из точки C) равна вектору, который идет от конца вычитаемого (B) к концу уменьшаемого (A), то есть вектору $\vec{BA}$.

Ответ: Утверждение верно.

3) $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{BA}$

Проанализируем это равенство. Векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ выходят из одной точки C. Их сумма по правилу параллелограмма будет диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, и эта диагональ также будет выходить из точки C. Вектор $\vec{BA}$ является стороной треугольника и не может быть равен этой сумме (за исключением вырожденных случаев, не показанных на рисунке).

Для формального доказательства, сравним это утверждение с верным утверждением из пункта 2: $\vec{BA} = \vec{CA} - \vec{CB}$.

Если бы утверждение 3 было верным, то правые части обоих равенств должны были бы быть равны:

$\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{CA} - \vec{CB}$

Вычитая $\vec{CA}$ из обеих частей, получаем:

$\vec{CB} = -\vec{CB}$

Это равенство означает, что $2\vec{CB} = \vec{0}$, и, следовательно, $\vec{CB} = \vec{0}$. Нулевой вектор имеет место только тогда, когда его начало и конец совпадают, то есть C и B — это одна и та же точка. На рисунке точки C и B различны.

Ответ: Утверждение неверно.

4) $\vec{CA} - \vec{BA} = \vec{CB}$?

Используем свойство противоположного вектора: $-\vec{BA} = \vec{AB}$. Заменим вычитание на сложение с противоположным вектором:

$\vec{CA} - \vec{BA} = \vec{CA} + \vec{AB}$

Теперь к сумме $\vec{CA} + \vec{AB}$ применим правило треугольника. Движение из C в A, а затем из A в B эквивалентно движению из C в B.

$\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$

Таким образом, исходное равенство $\vec{CA} - \vec{BA} = \vec{CB}$ является верным.

Ответ: Утверждение верно.

Вопрос состоял в том, чтобы найти неверное утверждение. Проанализировав все варианты, мы выяснили, что неверным является утверждение под номером 3.