Номер 319, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

319. Дан прямоугольник $ABCD$ (рис. 267). Запишите, какими являются следующие векторы, используя только термины «равные», «противоположные», «перпендикулярные»:

а) $\vec{DA}$ и $\vec{BC}$;

б) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$;

в) $\vec{BO}$ и $\vec{DO}$;

г) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Рис. 267

а) $\vec{DA}$ и $\vec{BC}$

В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны $DA$ и $BC$ параллельны и равны по длине. Вектор $\vec{BC}$ можно получить параллельным переносом вектора $\vec{AD}$, поэтому $\vec{AD} = \vec{BC}$. Вектор $\vec{DA}$ имеет ту же длину, что и вектор $\vec{AD}$, но направлен в противоположную сторону, следовательно, $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Заменяя $\vec{AD}$ на $\vec{BC}$, получаем $\vec{DA} = -\vec{BC}$. Векторы, которые равны по модулю и противоположны по направлению, являются противоположными.

Ответ: противоположные.

б) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$

Точка $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника. По свойству диагоналей прямоугольника, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, длины отрезков $AO$ и $OC$ равны: $|AO| = |OC|$. Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой $AC$ и направлены в одну и ту же сторону (от точки $A$ к точке $C$). Векторы, которые сонаправлены и имеют равные длины, являются равными.

Ответ: равные.

в) $\vec{BO}$ и $\vec{DO}$

По свойству диагоналей прямоугольника, точка $O$ является серединой диагонали $BD$, поэтому длины отрезков $BO$ и $DO$ равны: $|BO| = |DO|$. Векторы $\vec{BO}$ и $\vec{DO}$ лежат на одной прямой $BD$. Вектор $\vec{BO}$ направлен от точки $B$ к точке $O$. Вектор $\vec{DO}$ направлен от точки $D$ к точке $O$. Так как точки $B$, $O$, $D$ лежат на одной прямой в таком порядке, направления этих векторов противоположны. Векторы, имеющие равные длины и противоположные направления, являются противоположными.

Ответ: противоположные.

г) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ соответствуют смежным сторонам прямоугольника $ABCD$. По определению прямоугольника, угол между его смежными сторонами равен $90^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ составляет $90^\circ$. Векторы, угол между которыми равен $90^\circ$, являются перпендикулярными.

Ответ: перпендикулярные.