Номер 325, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

325. а) Векторы $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$ равны и точки $M, N$ и $K$ не лежат на одной прямой. Докажите, что отрезки $MK$ и $NP$ точкой пересечения делятся пополам.

б) Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны по длине, не коллинеарны и не имеют общих точек, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны. Докажите, что $\angle BAD = \angle CDA$.

а)

Докажем утверждение, используя метод векторов. Пусть даны четыре точки в пространстве: $M$, $N$, $P$, $K$. Положение этих точек можно задать радиус-векторами $\vec{m}$, $\vec{n}$, $\vec{p}$, $\vec{k}$ соответственно, отложенными от некоторого начала координат $O$.

Вектор $\vec{MN}$ можно выразить через радиус-векторы его начала и конца: $\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m}$.

Аналогично, для вектора $\vec{PK}$: $\vec{PK} = \vec{k} - \vec{p}$.

По условию задачи, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$ равны: $\vec{MN} = \vec{PK}$.

Подставив их выражения через радиус-векторы, получим равенство:

$\vec{n} - \vec{m} = \vec{k} - \vec{p}$

Перегруппируем члены этого равенства таким образом, чтобы в левой части оказались векторы, относящиеся к отрезку $NP$, а в правой — к отрезку $MK$:

$\vec{n} + \vec{p} = \vec{m} + \vec{k}$

Теперь разделим обе части полученного равенства на 2:

$\frac{\vec{n} + \vec{p}}{2} = \frac{\vec{m} + \vec{k}}{2}$

Векторное выражение $\frac{\vec{n} + \vec{p}}{2}$ представляет собой радиус-вектор середины отрезка $NP$.

Аналогично, выражение $\frac{\vec{m} + \vec{k}}{2}$ является радиус-вектором середины отрезка $MK$.

Поскольку радиус-векторы середин отрезков $NP$ и $MK$ равны, это означает, что их середины совпадают, то есть отрезки $MK$ и $NP$ имеют общую середину. Это и есть точка их пересечения. Следовательно, отрезки $MK$ и $NP$ точкой пересечения делятся пополам.

Условие, что точки $M$, $N$ и $K$ не лежат на одной прямой, гарантирует, что фигура $MNKP$ является невырожденным параллелограммом (так как из $\vec{MN} = \vec{PK}$ следует, что $\vec{MN} = -\vec{KP}$), а отрезки $MK$ и $NP$ — его диагоналями.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, образованный точками $A$, $B$, $C$ и $D$.

Из условия известно, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны. Это означает, что прямые, содержащие эти векторы, параллельны друг другу, то есть $BC \parallel AD$.

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие нет, называется трапецией. Таким образом, $ABCD$ — это трапеция с основаниями $BC$ и $AD$. Стороны $AB$ и $CD$ являются боковыми сторонами, так как по условию векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны, следовательно, прямые $AB$ и $CD$ не параллельны.

Также по условию задачи векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны по длине: $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$. Это означает, что длины боковых сторон трапеции равны: $AB = CD$.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной (или равнобокой) трапецией.

Одним из ключевых свойств равнобедренной трапеции является равенство углов при каждом из оснований. Для большего основания $AD$ углами при основании являются $\angle BAD$ и $\angle CDA$.

Поскольку $ABCD$ является равнобедренной трапецией, то углы при ее основании $AD$ равны. Следовательно, $\angle BAD = \angle CDA$.

Ответ: Что и требовалось доказать.