Номер 326, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

326. Перенесите векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, изображенные на рисунке 280, в тетрадь. Постройте вектор:

а) $\vec{a} + \vec{b}$;

б) $\vec{b} + \vec{c}$;

в) $\vec{a} - \vec{b}$;

г) $\vec{c} - \vec{b}$;

д) $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$;

е) $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$;

ж) $-0.5\vec{c} - \vec{a}$;

з) $\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}$.

Рис. 280

Для решения задачи сначала определим координаты векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ в прямоугольной системе координат, приняв сторону одной клетки за единицу. Начало каждого вектора можно поместить в начало координат $(0,0)$.

• Вектор $\vec{a}$ направлен вправо на 4 клетки, следовательно, его координаты $\vec{a} = \{4; 0\}$.
• Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх, следовательно, его координаты $\vec{b} = \{2; 3\}$.
• Вектор $\vec{c}$ смещается на 3 клетки влево и на 4 клетки вверх, следовательно, его координаты $\vec{c} = \{-3; 4\}$.

Теперь построим требуемые векторы, используя их координаты. Построение на плоскости заключается в откладывании вектора с полученными координатами от произвольной точки.

а) Для нахождения вектора $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$ сложим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{s} = \{4; 0\} + \{2; 3\} = \{4+2; 0+3\} = \{6; 3\}$.
Геометрически это соответствует построению по правилу треугольника: от конца вектора $\vec{a}$ откладывается вектор $\vec{b}$. Вектор суммы соединяет начало $\vec{a}$ с концом $\vec{b}$.
Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = \{6; 3\}$.

б) Для нахождения вектора $\vec{s} = \vec{b} + \vec{c}$ сложим координаты векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:
$\vec{s} = \{2; 3\} + \{-3; 4\} = \{2-3; 3+4\} = \{-1; 7\}$.
Геометрически построение аналогично пункту а).
Ответ: $\vec{b} + \vec{c} = \{-1; 7\}$.

в) Для нахождения вектора $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ вычтем из координат вектора $\vec{a}$ координаты вектора $\vec{b}$:
$\vec{d} = \{4; 0\} - \{2; 3\} = \{4-2; 0-3\} = \{2; -3\}$.
Геометрически это соответствует сложению вектора $\vec{a}$ с вектором $-\vec{b}$, который имеет координаты $\{-2; -3\}$.
Ответ: $\vec{a} - \vec{b} = \{2; -3\}$.

г) Для нахождения вектора $\vec{d} = \vec{c} - \vec{b}$ вычтем из координат вектора $\vec{c}$ координаты вектора $\vec{b}$:
$\vec{d} = \{-3; 4\} - \{2; 3\} = \{-3-2; 4-3\} = \{-5; 1\}$.
Геометрически это соответствует сложению вектора $\vec{c}$ с вектором $-\vec{b} = \{-2; -3\}$.
Ответ: $\vec{c} - \vec{b} = \{-5; 1\}$.

д) Для нахождения вектора $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ сложим координаты всех трех векторов:
$\vec{s} = \{4; 0\} + \{2; 3\} + \{-3; 4\} = \{4+2-3; 0+3+4\} = \{3; 7\}$.
Геометрически используется правило многоугольника: векторы откладываются последовательно один за другим, и результирующий вектор соединяет начало первого и конец последнего.
Ответ: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \{3; 7\}$.

е) Для нахождения вектора $\vec{s} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ выполним соответствующие операции с координатами:
$\vec{s} = \{4; 0\} - \{2; 3\} + \{-3; 4\} = \{4-2-3; 0-3+4\} = \{-1; 1\}$.
Геометрически это построение суммы векторов $\vec{a}$, $-\vec{b}$ и $\vec{c}$.
Ответ: $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \{-1; 1\}$.

ж) Для нахождения вектора $\vec{s} = -0,5\vec{c} - \vec{a}$ сначала найдем координаты векторов $-0,5\vec{c}$ и $-\vec{a}$:
$-0,5\vec{c} = -0,5 \times \{-3; 4\} = \{1,5; -2\}$.
$-\vec{a} = -\{4; 0\} = \{-4; 0\}$.
Теперь сложим их: $\vec{s} = \{1,5; -2\} + \{-4; 0\} = \{1,5 - 4; -2 + 0\} = \{-2,5; -2\}$.
Ответ: $-0,5\vec{c} - \vec{a} = \{-2,5; -2\}$.

з) Для нахождения вектора $\vec{s} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c}$ найдем координаты каждого слагаемого:
$\frac{2}{5}\vec{a} = \frac{2}{5}\{4; 0\} = \{1,6; 0\}$.
$\frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\{2; 3\} = \{1; 1,5\}$.
$-\vec{c} = -\{-3; 4\} = \{3; -4\}$.
Теперь сложим полученные векторы: $\vec{s} = \{1,6; 0\} + \{1; 1,5\} + \{3; -4\} = \{1,6+1+3; 0+1,5-4\} = \{5,6; -2,5\}$.
Ответ: $\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c} = \{5,6; -2,5\}$.