Номер 330, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

330. Дан прямоугольный треугольник АВС, $ \angle C = 90^\circ $, $ AC = 6 $, $ BC = 8 $.

Найдите:

а) $ \left| \vec{AC} + \vec{CB} \right| $;

б) $ \left| \vec{AC} + \vec{BC} \right| $;

в) $ \left| \vec{BA} - \vec{BC} \right| $;

г) $ \left| \vec{CA} + \vec{CB} \right| $.

а) По правилу треугольника (правилу Шаля) для сложения векторов, сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ равна вектору $\vec{AB}$, который соединяет начальную точку первого вектора (A) с конечной точкой второго вектора (B).

$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$

Следовательно, искомая величина равна модулю вектора $\vec{AB}$, который равен длине гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. По теореме Пифагора:

$|\vec{AB}| = AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

б) Для нахождения модуля суммы векторов $|\vec{AC} + \vec{BC}|$ удобно воспользоваться координатным методом. Разместим треугольник в системе координат так, чтобы вершина прямого угла $C$ совпала с началом координат $(0, 0)$. Пусть катет $AC$ лежит на оси $Ox$, а катет $BC$ — на оси $Oy$. Тогда координаты вершин будут:

$C(0, 0)$, $A(6, 0)$, $B(0, 8)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ (координаты конечной точки минус координаты начальной):

$\vec{AC} = \{0-6; 0-0\} = \{-6; 0\}$

$\vec{BC} = \{0-0; 0-8\} = \{0; -8\}$

Теперь найдем координаты вектора-суммы $\vec{AC} + \vec{BC}$:

$\vec{AC} + \vec{BC} = \{-6+0; 0+(-8)\} = \{-6; -8\}$

Модуль этого вектора равен корню из суммы квадратов его координат:

$|\vec{AC} + \vec{BC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

в) По правилу вычитания векторов, исходящих из одной точки, разность векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{CA}$, который соединяет конец вычитаемого вектора (C) с концом уменьшаемого вектора (A).

$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$

Следовательно, нам нужно найти модуль вектора $\vec{CA}$, который равен длине катета $AC$.

$|\vec{CA}| = AC = 6$.

Ответ: 6.

г) Векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ выходят из одной точки $C$. Их сумма по правилу параллелограмма равна вектору-диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах. Поскольку угол $C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$), векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ перпендикулярны, и этот параллелограмм является прямоугольником. Длина диагонали этого прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора, где катетами являются длины векторов $|\vec{CA}|$ и $|\vec{CB}|$.

$|\vec{CA}| = AC = 6$

$|\vec{CB}| = BC = 8$

Тогда модуль их суммы равен:

$|\vec{CA} + \vec{CB}| = \sqrt{|\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.