Номер 335, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

335. Дан параллелограмм ABCD, O — точка пересечения его диагоналей, $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Выразите через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вектор:

а) $\vec{OC}$;

б) $\vec{BO}$;

в) $\vec{BC} + \vec{CD}$;

г) $\vec{DO} - \vec{DA}$.

а) $\vec{OC}$
По свойству параллелограмма $ABCD$, его диагонали $AC$ и $BD$ в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, вектор $\vec{OC}$ равен половине вектора диагонали $\vec{AC}$ ($\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$).
Вектор диагонали $\vec{AC}$ можно найти по правилу параллелограмма для сложения векторов: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Согласно условию задачи, $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.
Таким образом, $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.
Подставляя это в выражение для $\vec{OC}$, получаем: $\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

б) $\vec{BO}$
Аналогично, вектор $\vec{BO}$ является половиной вектора диагонали $\vec{BD}$ ($\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD}$).
Вектор $\vec{BD}$ можно найти по правилу треугольника: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
Подставив заданные векторы, получаем: $\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}$.
Так как $O$ — середина $BD$, то $\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

в) $\vec{BC} + \vec{CD}$
По правилу сложения векторов (правило многоугольника), сумма векторов $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора ($B$) с концом второго ($D$), то есть $\vec{BD}$.
$\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$.
Как было найдено в пункте б), $\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}$.
Другой способ — выразить каждый вектор отдельно. В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$. Вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, так как $\vec{CD}$ и $\vec{BA}$ сонаправлены, а $\vec{BA}=-\vec{AB}$, поэтому $\vec{CD} = -\vec{a}$.
Следовательно, $\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{b} + (-\vec{a}) = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{b} - \vec{a}$

г) $\vec{DO} - \vec{DA}$
По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало, разность $\vec{DO} - \vec{DA}$ равна вектору $\vec{AO}$.
$\vec{DO} - \vec{DA} = \vec{AO}$.
Так как точка $O$ является серединой диагонали $AC$, то вектор $\vec{AO}$ равен вектору $\vec{OC}$.
$\vec{AO} = \vec{OC}$.
Из пункта а) мы знаем, что $\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.
Следовательно, $\vec{DO} - \vec{DA} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$