Номер 328, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

328. А, В, С и D — произвольные точки. Докажите, что $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}$.

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом последовательного сложения векторов (правилом многоугольника), которое является обобщением правила треугольника. Согласно правилу треугольника, для любых трех точек $P$, $Q$ и $R$ выполняется равенство $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA}$.

Применим правило треугольника к сумме первых двух векторов $\vec{AB} + \vec{BC}$. Их сумма — это вектор, идущий из начальной точки первого вектора ($A$) в конечную точку второго ($C$):

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Подставив это в исходное выражение, получим:

$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DA}$

Снова применим правило треугольника к первым двум векторам в получившемся выражении, $\vec{AC} + \vec{CD}$:

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Теперь выражение упрощается до:

$(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DA} = \vec{AD} + \vec{DA}$

Вектор $\vec{DA}$ является противоположным вектору $\vec{AD}$, поскольку они имеют одинаковый модуль (длину), но направлены в противоположные стороны. Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору ($\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$). Следовательно:

$\vec{AD} + \vec{DA} = \vec{0}$

Таким образом, мы доказали, что $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.