Номер 323, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

323. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, если:

а) векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ равны и не лежат на одной прямой;

б) векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{DA}$ противоположны и не лежат на одной прямой.

а)

По условию, в четырехугольнике ABCD векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{DC} $ равны. Равенство векторов означает, что они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны.

1. Из равенства длин векторов $ |\vec{AB}| = |\vec{DC}| $ следует равенство длин соответствующих отрезков: $ AB = DC $.

2. Сонаправленность векторов $ \vec{AB} $ и $ \vec{DC} $ означает, что прямые, на которых они лежат, параллельны. По условию, векторы не лежат на одной прямой, значит, прямые AB и DC различны и параллельны: $ AB \parallel DC $.

Таким образом, в четырехугольнике ABCD две противолежащие стороны, AB и DC, равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: Доказано.

б)

По условию, в четырехугольнике ABCD векторы $ \vec{BC} $ и $ \vec{DA} $ противоположны. Противоположные векторы имеют равные длины, но противоположные направления. Векторно это записывается как $ \vec{BC} = -\vec{DA} $.

Вектор $ -\vec{DA} $ — это вектор, который начинается в точке A и заканчивается в точке D, то есть это вектор $ \vec{AD} $. Таким образом, условие $ \vec{BC} = -\vec{DA} $ эквивалентно равенству $ \vec{BC} = \vec{AD} $.

Равенство векторов $ \vec{BC} = \vec{AD} $ означает, что они сонаправлены и их длины равны.

1. Из равенства длин векторов $ |\vec{BC}| = |\vec{AD}| $ следует равенство длин соответствующих отрезков: $ BC = AD $.

2. Сонаправленность векторов $ \vec{BC} $ и $ \vec{AD} $ означает, что прямые, на которых они лежат, параллельны. По условию, векторы не лежат на одной прямой, значит, прямые BC и AD различны и параллельны: $ BC \parallel AD $.

Таким образом, в четырехугольнике ABCD две противолежащие стороны, BC и AD, равны и параллельны. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: Доказано.