Номер 320, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

320. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AK$ и $CN$, которые пересекаются в точке $M$ (рис. 268). Используя отмеченные точки, запишите:

а) две пары равных векторов;

б) какие-либо три сонаправленных вектора;

в) какие-либо два противоположных вектора.

Рис. 268

а) Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
1. По условию, $CN$ — медиана треугольника $ABC$, следовательно, точка $N$ является серединой стороны $AB$. Это значит, что длины отрезков $AN$ и $NB$ равны. Векторы $\vec{AN}$ и $\vec{NB}$ лежат на одной прямой и оба направлены в одну сторону (от $A$ к $B$). Таким образом, векторы $\vec{AN}$ и $\vec{NB}$ равны: $\vec{AN} = \vec{NB}$.
2. Аналогично, $AK$ — медиана, поэтому точка $K$ является серединой стороны $BC$. Длины отрезков $BK$ и $KC$ равны. Векторы $\vec{BK}$ и $\vec{KC}$ лежат на одной прямой и направлены в одну сторону (от $B$ к $C$). Следовательно, векторы $\vec{BK}$ и $\vec{KC}$ равны: $\vec{BK} = \vec{KC}$.
Ответ: $\vec{AN} = \vec{NB}$ и $\vec{BK} = \vec{KC}$.

б) Сонаправленные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону. Длины таких векторов могут быть различными.
Рассмотрим медиану $AK$. Точки $A, M, K$ лежат на одной прямой. Векторы $\vec{AM}$, $\vec{MK}$ и $\vec{AK}$ имеют одинаковое направление от точки $A$ к точке $K$.
Ответ: $\vec{AM}$, $\vec{MK}$, $\vec{AK}$.

в) Противоположные векторы — это векторы, которые имеют одинаковые длины, лежат на одной прямой (или параллельных прямых), но направлены в противоположные стороны.
Рассмотрим, например, векторы $\vec{AN}$ и $\vec{BN}$. Точка $N$ — середина отрезка $AB$, поэтому длины векторов равны: $|\vec{AN}| = |\vec{BN}|$. Вектор $\vec{AN}$ направлен от $A$ к $N$, а вектор $\vec{BN}$ направлен от $B$ к $N$. Так как точки $A, N, B$ лежат на одной прямой, направления этих векторов противоположны.
Другим простым примером являются векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MA}$. Они имеют равные длины и противоположные направления.
Ответ: $\vec{AN}$ и $\vec{BN}$.