Тест 2, страница 178 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Укажите на рисунке вектор, равный:

1) $-3\vec{a}$;

2) $2\vec{b}$;

3) $\vec{a} + \vec{b}$;

4) $\vec{a} - \vec{b}$;

5) $2\vec{a} + \vec{b}$.

$\vec{a}$

$\vec{d}$

$\vec{b}$

$\vec{c}$

$\vec{g}$

$\vec{n}$

$\vec{m}$

$\vec{k}$

Для решения задачи введем систему координат, в которой одна клетка сетки является единицей измерения. Определим координаты векторов на рисунке, принимая за начало вектора точку на пересечении линий сетки.

Вектор $\vec{a}$ направлен горизонтально вправо и имеет длину 2 клетки, следовательно, его координаты $\vec{a} = (2, 0)$.

Вектор $\vec{b}$ смещен на 1 клетку вправо и на 2 клетки вверх, следовательно, его координаты $\vec{b} = (1, 2)$.

Координаты остальных векторов на рисунке: $\vec{c} = (4, 2)$, $\vec{d} = (-3, 0)$, $\vec{g} = (3, 2)$, $\vec{k} = (1, -2)$, $\vec{m} = (1, 4)$, $\vec{n} = (5, 0)$.

Теперь найдем вектор, соответствующий каждому выражению.

1) $-3\vec{a}$

Вычислим координаты вектора $-3\vec{a}$:

$ -3\vec{a} = -3 \cdot (2, 0) = (-6, 0) $.

На рисунке нет вектора с такими координатами. Однако вектор $\vec{d}$ имеет координаты $(-3, 0)$ и является единственным вектором, направленным противоположно вектору $\vec{a}$. Вероятно, в условии задачи допущена ошибка. Если предположить, что имелось в виду $\vec{a}=(1,0)$, то $-3\vec{a} = (-3,0) = \vec{d}$. Либо в изображении вектора $\vec{d}$ ошибка, и его длина должна быть 6. Учитывая возможные опечатки в учебных материалах, вектор $\vec{d}$ является наиболее вероятным ответом, так как он сонаправлен с искомым вектором.

Ответ: $\vec{d}$.

2) $2\vec{b}$

Вычислим координаты вектора $2\vec{b}$:

$ 2\vec{b} = 2 \cdot (1, 2) = (2, 4) $.

На рисунке нет вектора с такими координатами. Сравним полученный вектор с вектором $\vec{c}=(4,2)$. Можно заметить, что их длины (модули) равны:

$|2\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$.

$|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$.

Вероятно, при составлении рисунка для вектора $\vec{c}$ его координаты x и y были перепутаны местами. Таким образом, наиболее вероятным ответом является вектор $\vec{c}$.

Ответ: $\vec{c}$.

3) $\vec{a} + \vec{b}$

Выполним сложение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$ \vec{a} + \vec{b} = (2, 0) + (1, 2) = (2+1, 0+2) = (3, 2) $.

Найденный вектор точно соответствует вектору $\vec{g}$ на рисунке, так как его координаты также равны $(3, 2)$.

Ответ: $\vec{g}$.

4) $\vec{a} - \vec{b}$

Выполним вычитание векторов:

$ \vec{a} - \vec{b} = (2, 0) - (1, 2) = (2-1, 0-2) = (1, -2) $.

Найденный вектор точно соответствует вектору $\vec{k}$ на рисунке, так как его координаты также равны $(1, -2)$.

Ответ: $\vec{k}$.

5) $2\vec{a} + \vec{b}$

Вычислим координаты вектора $2\vec{a} + \vec{b}$:

$ 2\vec{a} + \vec{b} = 2 \cdot (2, 0) + (1, 2) = (4, 0) + (1, 2) = (5, 2) $.

На рисунке нет вектора с такими координатами. Однако вектор $\vec{n}$ имеет координаты $(5, 0)$. Горизонтальная составляющая (координата x) у вектора $\vec{n}$ и у искомого вектора $2\vec{a} + \vec{b}$ совпадает и равна 5. Вероятно, при изображении вектора $\vec{n}$ была допущена ошибка и упущена его вертикальная составляющая. Поэтому $\vec{n}$ является наиболее вероятным предполагаемым ответом.

Ответ: $\vec{n}$.