Номер 332, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

332. Дан треугольник ABC (рис. 281), M и N — середины сторон AB и AC соответственно, $ \vec{AN} = \vec{a}, \vec{AM} = \vec{b} $. Выразите через векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ вектор:

a) $ \vec{BM} $;

б) $ \vec{MN} $;

в) $ \vec{AB} $;

г) $ \vec{CB} $;

д) $ \vec{BN} $;

е) $ \vec{AC} $.

По условию задачи дано: $M$ — середина стороны $AB$, $N$ — середина стороны $AC$. Векторы $\vec{AN} = \vec{a}$ и $\vec{AM} = \vec{b}$.

а) $\vec{BM}$;

Поскольку точка $M$ является серединой стороны $AB$, то она делит отрезок $AB$ на два равных отрезка $AM$ и $MB$. Векторы, соответствующие этим отрезкам и имеющие одинаковое направление от точки $A$ к $B$, равны: $\vec{AM} = \vec{MB}$.

Из условия задачи известно, что $\vec{AM} = \vec{b}$. Следовательно, $\vec{MB} = \vec{b}$.

Вектор $\vec{BM}$ имеет то же начало, что и $\vec{MB}$, но направлен в противоположную сторону, поэтому он является противоположным вектором: $\vec{BM} = -\vec{MB}$.

Таким образом, $\vec{BM} = -\vec{b}$.

Ответ: $-\vec{b}$

б) $\vec{MN}$;

Для нахождения вектора $\vec{MN}$ воспользуемся правилом треугольника (или правилом многоугольника) для векторов, применив его к точкам $M, A, N$: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}$.

Вектор $\vec{MA}$ противоположен вектору $\vec{AM}$, поэтому $\vec{MA} = -\vec{AM} = -\vec{b}$.

Вектор $\vec{AN}$ дан по условию: $\vec{AN} = \vec{a}$.

Подставим полученные значения в формулу: $\vec{MN} = -\vec{b} + \vec{a}$.

Ответ: $\vec{a} - \vec{b}$

в) $\vec{AB}$;

Так как $M$ — середина отрезка $AB$, то вектор $\vec{AM}$ составляет половину вектора $\vec{AB}$ и сонаправлен с ним. Это означает, что $\vec{AB} = 2 \cdot \vec{AM}$.

По условию $\vec{AM} = \vec{b}$.

Следовательно, $\vec{AB} = 2\vec{b}$.

Ответ: $2\vec{b}$

г) $\vec{CB}$;

Для нахождения вектора $\vec{CB}$ воспользуемся правилом сложения векторов: $\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB}$.

Сначала найдем векторы $\vec{CA}$ и $\vec{AB}$ через данные $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Поскольку $N$ — середина $AC$, то $\vec{AC} = 2\vec{AN}$. Так как $\vec{AN} = \vec{a}$, получаем $\vec{AC} = 2\vec{a}$. Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, поэтому $\vec{CA} = -2\vec{a}$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, то $\vec{AB} = 2\vec{AM}$. Так как $\vec{AM} = \vec{b}$, получаем $\vec{AB} = 2\vec{b}$.

Теперь подставим найденные векторы в исходное равенство: $\vec{CB} = -2\vec{a} + 2\vec{b}$.

Ответ: $2\vec{b} - 2\vec{a}$

д) $\vec{BN}$;

Для нахождения вектора $\vec{BN}$ воспользуемся правилом треугольника для векторов: $\vec{BN} = \vec{BA} + \vec{AN}$.

Вектор $\vec{AN}$ дан по условию: $\vec{AN} = \vec{a}$.

Найдем вектор $\vec{BA}$. Он противоположен вектору $\vec{AB}$. Из пункта (в) мы знаем (или можем вывести заново), что $\vec{AB} = 2\vec{AM} = 2\vec{b}$.

Следовательно, $\vec{BA} = -\vec{AB} = -2\vec{b}$.

Подставляем значения в выражение для $\vec{BN}$: $\vec{BN} = -2\vec{b} + \vec{a}$.

Ответ: $\vec{a} - 2\vec{b}$

е) $\vec{AC}$.

Так как $N$ — середина отрезка $AC$, то вектор $\vec{AN}$ составляет половину вектора $\vec{AC}$ и сонаправлен с ним. Это означает, что $\vec{AC} = 2 \cdot \vec{AN}$.

По условию $\vec{AN} = \vec{a}$.

Следовательно, $\vec{AC} = 2\vec{a}$.

Ответ: $2\vec{a}$