Номер 339, страница 181 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

339. Докажите, что:

а) модуль суммы векторов меньше либо равен сумме их модулей:

$\left|\vec{a} + \vec{b}\right| \leq \left|\vec{a}\right| + \left|\vec{b}\right|;$

б) модуль суммы векторов больше либо равен разности их модулей:

$\left|\vec{a} + \vec{b}\right| \geq \left|\vec{a}\right| - \left|\vec{b}\right|.$

а) Докажем неравенство $|\bar{a} + \bar{b}| \le |\bar{a}| + |\bar{b}|$, известное как неравенство треугольника.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Это равносильное преобразование.

Левая часть: $|\bar{a} + \bar{b}|^2$. По свойству скалярного произведения, квадрат модуля вектора равен скалярному произведению вектора на самого себя, т.е. $|\bar{c}|^2 = \bar{c} \cdot \bar{c}$.

Следовательно, $|\bar{a} + \bar{b}|^2 = (\bar{a} + \bar{b}) \cdot (\bar{a} + \bar{b})$.

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, раскроем скобки:

$(\bar{a} + \bar{b}) \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = \bar{a} \cdot \bar{a} + \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{a} + \bar{b} \cdot \bar{b}$.

Так как $\bar{a} \cdot \bar{a} = |\bar{a}|^2$, $\bar{b} \cdot \bar{b} = |\bar{b}|^2$ и $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{b} \cdot \bar{a}$, выражение упрощается до:

$|\bar{a}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) + |\bar{b}|^2$.

По определению, скалярное произведение векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ равно $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами.

Таким образом, $|\bar{a} + \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + 2|\bar{a}||\bar{b}|\cos\theta + |\bar{b}|^2$.

Поскольку для любого угла $\theta$ значение косинуса не превышает 1 ($\cos\theta \le 1$), то $\bar{a} \cdot \bar{b} \le |\bar{a}||\bar{b}|$. Следовательно:

$|\bar{a}|^2 + 2|\bar{a}||\bar{b}|\cos\theta + |\bar{b}|^2 \le |\bar{a}|^2 + 2|\bar{a}||\bar{b}| + |\bar{b}|^2$.

Выражение в правой части является формулой квадрата суммы: $(|\bar{a}| + |\bar{b}|)^2$.

Мы получили неравенство: $|\bar{a} + \bar{b}|^2 \le (|\bar{a}| + |\bar{b}|)^2$.

Извлекая квадратный корень из обеих неотрицательных частей, получаем исходное неравенство:

$|\bar{a} + \bar{b}| \le |\bar{a}| + |\bar{b}|$.

Равенство достигается, когда векторы сонаправлены ($\cos\theta = 1$) или один из них (или оба) является нулевым.

Ответ: Доказано, что $|\bar{a} + \bar{b}| \le |\bar{a}| + |\bar{b}|$.

б) Докажем неравенство $|\bar{a} + \bar{b}| \ge ||\bar{a}| - |\bar{b}||$, известное как обратное неравенство треугольника.

Как и в предыдущем пункте, начнем с квадрата модуля суммы векторов:

$|\bar{a} + \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + 2|\bar{a}||\bar{b}|\cos\theta + |\bar{b}|^2$, где $\theta$ — угол между векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$.

Минимальное значение косинуса равно -1. Таким образом, для любого угла $\theta$ справедливо неравенство $\cos\theta \ge -1$.

Умножим обе части на неотрицательную величину $2|\bar{a}||\bar{b}|$, знак неравенства сохранится: $2|\bar{a}||\bar{b}|\cos\theta \ge -2|\bar{a}||\bar{b}|$.

Подставим эту оценку в выражение для квадрата модуля суммы:

$|\bar{a} + \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + 2|\bar{a}||\bar{b}|\cos\theta + |\bar{b}|^2 \ge |\bar{a}|^2 - 2|\bar{a}||\bar{b}| + |\bar{b}|^2$.

Выражение в правой части является формулой квадрата разности:

$|\bar{a}|^2 - 2|\bar{a}||\bar{b}| + |\bar{b}|^2 = (|\bar{a}| - |\bar{b}|)^2$.

Таким образом, мы получили неравенство: $|\bar{a} + \bar{b}|^2 \ge (|\bar{a}| - |\bar{b}|)^2$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как $\sqrt{x^2} = |x|$ для любого действительного числа $x$, получаем:

$\sqrt{|\bar{a} + \bar{b}|^2} \ge \sqrt{(|\bar{a}| - |\bar{b}|)^2}$

$|\bar{a} + \bar{b}| \ge ||\bar{a}| - |\bar{b}||$.

Равенство достигается, когда векторы направлены противоположно ($\cos\theta = -1$) или один из них является нулевым.

Ответ: Доказано, что $|\bar{a} + \bar{b}| \ge ||\bar{a}| - |\bar{b}}||$.