Номер 334, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

334. Дан параллелограмм ABCD (рис. 282), О — точка пересечения его диагоналей, $\vec{OC} = \vec{a}$, $\vec{OD} = \vec{b}$. Выразите через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вектор:

а) $\vec{AC}$;

б) $\vec{DB}$;

в) $\vec{AB}$;

г) $\vec{AD}$;

д) $\vec{CB}$;

е) $\vec{CD}$.

Puc. 282

По условию, $ABCD$ — параллелограмм, и $O$ — точка пересечения его диагоналей. В любом параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Из этого свойства следуют векторные равенства:

1. Так как $O$ — середина $AC$, вектор из $A$ в $O$ равен вектору из $O$ в $C$. То есть, $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}$. По условию $\overrightarrow{OC} = \vec{a}$, следовательно, $\overrightarrow{AO} = \vec{a}$.

2. Так как $O$ — середина $BD$, вектор из $B$ в $O$ равен вектору из $O$ в $D$. То есть, $\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}$. По условию $\overrightarrow{OD} = \vec{b}$, следовательно, $\overrightarrow{BO} = \vec{b}$.

Также нам понадобятся противоположные векторы:

$\overrightarrow{CO} = -\overrightarrow{OC} = -\vec{a}$

$\overrightarrow{DO} = -\overrightarrow{OD} = -\vec{b}$

$\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{AO} = -\vec{a}$

$\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{BO} = -\vec{b}$

Теперь выразим требуемые векторы.

а) Вектор $\overrightarrow{AC}$ можно представить как сумму векторов $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OC}$ по правилу сложения векторов:

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}$

Ответ: $\overrightarrow{AC} = 2\vec{a}$

б) Вектор $\overrightarrow{DB}$ можно представить как сумму векторов $\overrightarrow{DO}$ и $\overrightarrow{OB}$:

$\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DO} + \overrightarrow{OB}$

Подставляя ранее найденные векторы $\overrightarrow{DO} = -\vec{b}$ и $\overrightarrow{OB} = -\vec{b}$, получаем:

$\overrightarrow{DB} = (-\vec{b}) + (-\vec{b}) = -2\vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{DB} = -2\vec{b}$

в) Вектор $\overrightarrow{AB}$ по правилу треугольника можно выразить через точку $O$:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$

Подставляя известные значения $\overrightarrow{AO} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{OB} = -\vec{b}$, получаем:

$\overrightarrow{AB} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{AB} = \vec{a} - \vec{b}$

г) Вектор $\overrightarrow{AD}$ по правилу треугольника можно выразить через точку $O$:

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD}$

Подставляя известные значения $\overrightarrow{AO} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{OD} = \vec{b}$, получаем:

$\overrightarrow{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

д) Вектор $\overrightarrow{CB}$ по правилу треугольника можно выразить через точку $O$:

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OB}$

Подставляя известные значения $\overrightarrow{CO} = -\vec{a}$ и $\overrightarrow{OB} = -\vec{b}$, получаем:

$\overrightarrow{CB} = (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{CB} = -\vec{a} - \vec{b}$

е) Вектор $\overrightarrow{CD}$ по правилу треугольника можно выразить через точку $O$:

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OD}$

Подставляя известные значения $\overrightarrow{CO} = -\vec{a}$ и $\overrightarrow{OD} = \vec{b}$, получаем:

$\overrightarrow{CD} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$

Ответ: $\overrightarrow{CD} = \vec{b} - \vec{a}$