Номер 327, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

327. Изобразите произвольный четырехугольник $MNPK$. Докажите, что:

а) $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MK} + \vec{KP}$;

б) $\vec{NP} + \vec{PK} = \vec{NM} + \vec{MK}$.

Для доказательства данных векторных равенств используется правило треугольника для сложения векторов, которое гласит, что для любых трех точек A, B, C справедливо равенство $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Рассмотрим произвольный четырехугольник MNPK.

а) Докажем равенство $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MK} + \vec{KP}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя правило треугольника для векторов $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$. Суммой этих векторов является вектор, соединяющий начало первого вектора (точка M) с концом второго вектора (точка P):

$\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$.

Теперь преобразуем правую часть равенства, используя то же правило для векторов $\vec{MK}$ и $\vec{KP}$. Суммой этих векторов является вектор, соединяющий начало первого вектора (точка M) с концом второго вектора (точка P):

$\vec{MK} + \vec{KP} = \vec{MP}$.

Поскольку левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{MP}$, данное равенство является верным.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем равенство $\vec{NP} + \vec{PK} = \vec{NM} + \vec{MK}$.

Преобразуем левую часть равенства по правилу треугольника для векторов $\vec{NP}$ и $\vec{PK}$. Их сумма — это вектор, идущий от начальной точки N к конечной точке K:

$\vec{NP} + \vec{PK} = \vec{NK}$.

Далее преобразуем правую часть равенства по правилу треугольника для векторов $\vec{NM}$ и $\vec{MK}$. Их сумма — это вектор, идущий от начальной точки N к конечной точке K:

$\vec{NM} + \vec{MK} = \vec{NK}$.

Так как левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{NK}$, данное равенство является верным.

Ответ: Равенство доказано.