Номер 322, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

322. AK — биссектриса равностороннего треугольника ABC. Найдите угол между векторами:

a) $\vec{AK}$ и $\vec{AC}$;

б) $\vec{BA}$ и $\vec{KC}$;

в) $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$;

г) $\vec{AK}$ и $\vec{BC}$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его углы равны $60^\circ$ ($ \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ $), и все стороны равны. Биссектриса $AK$, проведенная из вершины $A$, в равностороннем треугольнике является также медианой и высотой. Из этого следует, что $AK$ делит угол $A$ пополам, то есть $ \angle BAK = \angle CAK = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $. Также $K$ — середина стороны $BC$, и $AK$ перпендикулярна $BC$ ($AK \perp BC$), что означает $ \angle AKB = \angle AKC = 90^\circ $.

а) $\vec{AK}$ и $\vec{AC}$

Угол между векторами, выходящими из одной точки, равен углу между лучами, на которых они лежат. Векторы $\vec{AK}$ и $\vec{AC}$ выходят из общей точки $A$. Следовательно, угол между ними равен углу $\angle KAC$. Так как $AK$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, то $\angle KAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

б) $\vec{BA}$ и $\vec{KC}$

Для нахождения угла между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{KC}$ необходимо привести их к общему началу. Вектор $\vec{KC}$ лежит на прямой $BC$ и сонаправлен вектору $\vec{BC}$, так как $K$ — середина $BC$. Поэтому угол между $\vec{BA}$ и $\vec{KC}$ равен углу между $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Оба эти вектора, $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, выходят из точки $B$. Угол между ними равен $\angle ABC$. В равностороннем треугольнике $\angle ABC = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

в) $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$, приведем их к общему началу, например, к точке $C$. Вектор $\vec{CB}$ уже исходит из точки $C$. Вектор, равный $\vec{AC}$, но исходящий из точки $C$, будет вектором, противоположным вектору $\vec{CA}$. Обозначим его как $-\vec{CA}$. Угол между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ равен $\angle ACB = 60^\circ$. Угол между векторами $\vec{v}$ и $-\vec{u}$ равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{v}$ и $\vec{u}$. Таким образом, искомый угол равен $180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

г) $\vec{AK}$ и $\vec{BC}$

В равностороннем треугольнике биссектриса $AK$ также является высотой, опущенной на сторону $BC$. Это означает, что прямая $AK$ перпендикулярна прямой $BC$. Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\vec{AK}$ и $\vec{BC}$, лежащими на этих прямых, равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$