Номер 316, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

316. Начертите квадрат ABCD. Используя точки A, B, C и D как начало или конец вектора, запишите:

а) вектор, равный вектору $\vec{BC}$;

б) векторы, противоположные вектору $\vec{DA}$;

в) все векторы, перпендикулярные вектору $\vec{AB}$;

г) векторы, перпендикулярные вектору $\vec{AC}$.

Для решения задачи представим квадрат $ABCD$, вершины которого расположены последовательно против часовой стрелки. Векторы будем образовывать, используя эти точки в качестве начала и конца.

а) Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. В квадрате $ABCD$ противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны по длине. Вектор $\vec{BC}$ направлен от точки $B$ к точке $C$. Вектор $\vec{AD}$ направлен от точки $A$ к точке $D$. Так как вершины расположены против часовой стрелки, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ имеют одинаковое направление. Их длины равны, так как это стороны одного квадрата. Следовательно, вектор, равный вектору $\vec{BC}$, это $\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{AD}$.

б) Векторы называются противоположными, если они имеют равные длины и противоположные направления. Вектор $\vec{DA}$ направлен от точки $D$ к точке $A$. Вектор, имеющий ту же длину, но противоположное направление, — это вектор $\vec{AD}$. В пункте а) было показано, что $\vec{AD} = \vec{BC}$. Таким образом, вектор $\vec{BC}$ также является противоположным вектору $\vec{DA}$, поскольку он равен вектору $\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{AD}$, $\vec{BC}$.

в) Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними составляет $90^\circ$. Вектор $\vec{AB}$ лежит на стороне $AB$ квадрата. В квадрате смежные стороны перпендикулярны. Поэтому стороны $AD$ и $BC$ перпендикулярны стороне $AB$. Следовательно, все векторы, лежащие на прямых $AD$ и $BC$, будут перпендикулярны вектору $\vec{AB}$. Это векторы $\vec{AD}$, $\vec{DA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$.

Ответ: $\vec{AD}$, $\vec{DA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$.

г) Вектор $\vec{AC}$ является диагональю квадрата. Важным свойством квадрата является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Вторая диагональ квадрата $ABCD$ — это $BD$. Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AC$. Векторы, которые лежат на диагонали $BD$, это $\vec{BD}$ и $\vec{DB}$. Они и будут перпендикулярны вектору $\vec{AC}$.

Ответ: $\vec{BD}$, $\vec{DB}$.