Тест 2, страница 171 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

По рисунку найдите:

а) коллинеарные векторы;

б) сонаправленные векторы;

в) противоположно направленные векторы;

г) равные векторы;

д) противоположные векторы;

е) векторы, равные по длине;

ж) угол между векторами:

$\vec{AB}$ и $\vec{MK}$; $\vec{EG}$ и $\vec{PN}$.

а) коллинеарные векторы;

Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора $\vec{a} = (x_1, y_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2)$ коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{a} = k\vec{b}$.

Определим координаты векторов, изображенных на рисунке, приняв сторону клетки за единицу длины:

• $\vec{AB} = (4, 2)$ (4 клетки вправо, 2 вверх)
• $\vec{CD} = (5, 3)$ (5 клеток вправо, 3 вверх)
• $\vec{KM} = (4, 2)$ (4 клетки вправо, 2 вверх)
• $\vec{EG} = (4, 1)$ (4 клетки вправо, 1 вверх)
• $\vec{PN} = (-1, 2)$ (1 клетка влево, 2 вверх)
• $\vec{FL} = (2, -3)$ (2 клетки вправо, 3 вниз)

Сравнивая координаты векторов, видим, что $\vec{AB} = 1 \cdot \vec{KM}$. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{KM}$ коллинеарны. Других пар коллинеарных векторов среди изображенных нет, так как отношения их координат не равны.
Ответ: $\vec{AB}$ и $\vec{KM}$.

б) сонаправленные векторы;

Сонаправленными называются коллинеарные векторы, направленные в одну сторону. Для них выполняется равенство $\vec{a} = k\vec{b}$ при $k > 0$.

Как было найдено в пункте а), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{KM}$ коллинеарны, и для них выполняется соотношение $\vec{AB} = 1 \cdot \vec{KM}$. Так как коэффициент $k=1$ положителен ($k > 0$), эти векторы сонаправлены.
Ответ: $\vec{AB}$ и $\vec{KM}$.

в) противоположно направленные векторы;

Противоположно направленными называются коллинеарные векторы, направленные в разные стороны. Для них выполняется равенство $\vec{a} = k\vec{b}$ при $k < 0$.

Среди векторов, изображенных на рисунке, единственная пара коллинеарных векторов ($\vec{AB}$ и $\vec{KM}$) является сонаправленной. Следовательно, противоположно направленных векторов среди них нет.
Ответ: Таких векторов на рисунке нет.

г) равные векторы;

Равными называются векторы, которые сонаправлены и имеют одинаковую длину. Другими словами, у равных векторов должны совпадать их соответствующие координаты.

Сравним координаты векторов, найденные в пункте а):

$\vec{AB} = (4, 2)$ и $\vec{KM} = (4, 2)$.

Координаты этих векторов совпадают, следовательно, $\vec{AB} = \vec{KM}$.
Ответ: $\vec{AB}$ и $\vec{KM}$.

д) противоположные векторы;

Противоположными называются векторы, которые противоположно направлены и имеют одинаковую длину. Для них выполняется равенство $\vec{a} = -\vec{b}$.

Так как среди изображенных на рисунке векторов нет противоположно направленных (согласно пункту в)), то и противоположных векторов среди них тоже нет.
Ответ: Таких векторов на рисунке нет.

е) векторы, равные по длине;

Длина (модуль) вектора $\vec{v} = (x, y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Найдем квадраты длин всех векторов для сравнения:

$|\vec{AB}|^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

$|\vec{CD}|^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$

$|\vec{KM}|^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

$|\vec{EG}|^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$

$|\vec{PN}|^2 = (-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$|\vec{FL}|^2 = 2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$

Сравнивая полученные значения, видим, что $|\vec{AB}|^2 = |\vec{KM}|^2 = 20$. Следовательно, длины векторов $\vec{AB}$ и $\vec{KM}$ равны. Других пар векторов с равными длинами нет.
Ответ: $\vec{AB}$ и $\vec{KM}$.

ж) угол между векторами: $\vec{AB}$ и $\vec{MK}$; $\vec{EG}$ и $\vec{PN}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле скалярного произведения: $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{MK}$:

Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(4, 2)$.

Вектор $\vec{KM}$, изображенный на рисунке, имеет координаты $(4, 2)$. Вектор $\vec{MK}$ является противоположным к вектору $\vec{KM}$, поэтому его координаты $\vec{MK} = -\vec{KM} = (-4, -2)$.

Векторы $\vec{AB} = (4, 2)$ и $\vec{MK} = (-4, -2)$ являются противоположно направленными, так как $\vec{AB} = -1 \cdot \vec{MK}$. Угол между противоположно направленными векторами равен $180^\circ$.

Проверим по формуле:

$\cos\theta = \frac{(4)(-4) + (2)(-2)}{\sqrt{4^2+2^2}\sqrt{(-4)^2+(-2)^2}} = \frac{-16-4}{\sqrt{20}\sqrt{20}} = \frac{-20}{20} = -1$.

Отсюда, $\theta = \arccos(-1) = 180^\circ$.

Угол между $\vec{EG}$ и $\vec{PN}$:

Найдем координаты этих векторов: $\vec{EG} = (4, 1)$ и $\vec{PN} = (-1, 2)$.

Найдем их скалярное произведение: $\vec{EG} \cdot \vec{PN} = 4 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -4 + 2 = -2$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{EG}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.

$|\vec{PN}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между ними:

$\cos\alpha = \frac{-2}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-2}{\sqrt{85}}$.

Следовательно, угол $\alpha = \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{85}}\right)$.
Ответ: угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{MK}$ равен $180^\circ$; угол между векторами $\vec{EG}$ и $\vec{PN}$ равен $\arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{85}}\right)$.