Номер 2, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

2. Найдите указанные элементы правильных многоугольников.

а) $a = 4\sqrt{3}$. $R-?$ $r-?$

б) $r = 6$. $a-?$ $R-?$

в) $R = 2\sqrt{3}$. $a-?$ $r-?$

а) В данном случае мы имеем дело с правильным (равносторонним) треугольником, так как на рисунке изображен многоугольник с тремя сторонами. Дана сторона $a = 4\sqrt{3}$. Нужно найти радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$.
Для правильного треугольника существуют следующие формулы, связывающие сторону с радиусами:
$a = R\sqrt{3}$
$a = 2r\sqrt{3}$
Из первой формулы выразим $R$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$.
Из второй формулы выразим $r$:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$.
Также для правильного треугольника верно соотношение $R = 2r$. Проверим: $4 = 2 \cdot 2$. Соотношение выполняется.
Ответ: $R=4, r=2$.

б) На рисунке изображен правильный четырехугольник (квадрат). Дан радиус вписанной окружности $r = 6$. Нужно найти сторону $a$ и радиус описанной окружности $R$.
Для квадрата радиус вписанной окружности равен половине его стороны:
$r = \frac{a}{2}$
Отсюда найдем сторону $a$:
$a = 2r = 2 \cdot 6 = 12$.
Радиус описанной окружности для квадрата связан со стороной формулой:
$a = R\sqrt{2}$
Выразим и найдем $R$:
$R = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$.
Ответ: $a=12, R=6\sqrt{2}$.

в) На рисунке изображен правильный шестиугольник. Дан радиус описанной окружности $R = 2\sqrt{3}$. Нужно найти сторону $a$ и радиус вписанной окружности $r$.
Для правильного шестиугольника его сторона равна радиусу описанной окружности:
$a = R$
Следовательно, $a = 2\sqrt{3}$.
Радиус вписанной окружности связан с радиусом описанной окружности для правильного шестиугольника следующим соотношением:
$r = R \frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставим известное значение $R$:
$r = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$.
Ответ: $a=2\sqrt{3}, r=3$.