Тест 2, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

$ \triangle ABC $ правильный. Найдите $ R $ и $ r $.

Сторона треугольника $a = 2\sqrt{3}$.

Поскольку треугольник $ABC$ является правильным (равносторонним), его сторона, по условию, равна $a = 2\sqrt{3}$. В правильном треугольнике центры вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей совпадают. Эта точка (на рисунке обозначена как $O$) является центром треугольника.

Для нахождения радиусов можно воспользоваться двумя основными способами: через формулы для правильного треугольника или через его геометрические свойства. Рассмотрим решение через геометрические свойства, так как оно более наглядно.

1. Проведем высоту из вершины $B$ к основанию $AC$. Назовем точку пересечения $H$. В правильном треугольнике высота является одновременно медианой и биссектрисой.

2. Так как $BH$ – медиана, она делит сторону $AC$ пополам. Следовательно, $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем длину высоты $BH$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

$BH^2 = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 3) - 3 = 12 - 3 = 9$

$BH = \sqrt{9} = 3$.

4. Центр правильного треугольника $O$ является точкой пересечения медиан и делит каждую медиану (в нашем случае высоту $BH$) в отношении 2:1, считая от вершины.

Отрезок $BO$ является радиусом описанной окружности ($R$), а отрезок $OH$ — радиусом вписанной окружности ($r$).

Нахождение радиуса описанной окружности R

Радиус $R$ составляет $\frac{2}{3}$ от длины высоты $BH$:

$R = BO = \frac{2}{3} \cdot BH = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$.

Нахождение радиуса вписанной окружности r

Радиус $r$ составляет $\frac{1}{3}$ от длины высоты $BH$:

$r = OH = \frac{1}{3} \cdot BH = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$.

Проверка: для правильного треугольника всегда выполняется соотношение $R = 2r$. В нашем случае $2 = 2 \cdot 1$, что является верным.

Ответ: $R=2$, $r=1$.