Номер 306, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

306. Около квадрата $ABCD$ описан круг, а на его сторонах построены полукруги как на диаметрах (рис. 250, в). Докажите, что сумма площадей зеленых луночек равна площади квадрата.

в)

Пусть сторона квадрата ABCD равна a.

Введем следующие обозначения для площадей: $S_{лун}$ — суммарная площадь четырех зеленых луночек; $S_{кв}$ — площадь квадрата ABCD; $S_{окр}$ — площадь большого круга, описанного около квадрата; $S_{4пк}$ — суммарная площадь четырех полукругов, построенных на сторонах квадрата; $S_{сегм}$ — суммарная площадь четырех областей между сторонами квадрата и дугой описанного круга (вспомогательные области, на рисунке показаны желтоватым цветом).

Площадь большого описанного круга можно представить как сумму площади вписанного в него квадрата и площади четырех сегментов, лежащих между сторонами квадрата и дугой круга:

$S_{окр} = S_{кв} + S_{сегм}$ (1)

С другой стороны, суммарная площадь четырех полукругов, построенных на сторонах квадрата, состоит из суммарной площади четырех луночек и площади тех же четырех сегментов:

$S_{4пк} = S_{лун} + S_{сегм}$ (2)

Теперь найдем площади $S_{окр}$ и $S_{4пк}$, выразив их через сторону квадрата a.

Диагональ квадрата является диаметром описанного круга. По теореме Пифагора, диагональ $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Радиус описанного круга $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Площадь описанного круга:

$S_{окр} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{2a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$.

Сторона квадрата a является диаметром для каждого из четырех полукругов. Радиус такого полукруга $r = \frac{a}{2}$.

Суммарная площадь четырех полукругов:

$S_{4пк} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\pi r^2\right) = 2\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2\pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что суммарная площадь четырех полукругов равна площади описанного круга:

$S_{окр} = S_{4пк}$.

Поскольку левые части уравнений (1) и (2) равны, то должны быть равны и их правые части:

$S_{кв} + S_{сегм} = S_{лун} + S_{сегм}$.

Вычтем из обеих частей этого равенства $S_{сегм}$:

$S_{кв} = S_{лун}$.

Это и доказывает, что сумма площадей зеленых луночек равна площади квадрата.

Ответ: Что и требовалось доказать.