Реальная геометрия, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Реальная геометрия

Яблочный пирог диаметром 30 см стоит 30 р. Сколько должен стоить яблочный пирог диаметром 20 см (рис. 245)? Подсказка: ответ 20 р. неверный.

Рис. 245

Задание.

а) Определите длину окружности манежа. Подсчитайте, за сколько секунд обезьянка может обежать манеж по окружности со скоростью 10 км/ч.

б) Определите площадь арены в квадратных метрах. Выясните, сколько ведер опилок понадобится, чтобы засыпать манеж, если одним ведром можно засыпать $9 \text{ дм}^2$.

Стоимость пирога зависит от его количества, то есть от площади, а не от диаметра. Предполагая, что высота пирогов одинакова, их стоимость будет пропорциональна площади их основания. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – это радиус, или через диаметр $d$ по формуле $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Найдем отношение площадей двух пирогов. Пусть $S_1$ и $d_1$ — площадь и диаметр первого пирога, а $S_2$ и $d_2$ — второго.

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{\pi d_2^2}{4}}{\frac{\pi d_1^2}{4}} = \frac{d_2^2}{d_1^2} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2$

Подставим значения диаметров: $d_1 = 30$ см, $d_2 = 20$ см.

$\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{20}{30}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$

Следовательно, стоимость второго пирога должна составлять $\frac{4}{9}$ от стоимости первого. Рассчитаем стоимость:

$30 \text{ р.} \cdot \frac{4}{9} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3} \approx 13,33 \text{ р.}$

Стоимость пирога диаметром 20 см должна составлять примерно 13 рублей 33 копейки.

Ответ: $\approx 13,33$ р.

а) Длина окружности манежа вычисляется по формуле $L = \pi d$, где $d = 13$ м. Для расчетов примем $\pi \approx 3,14$.

$L = 13 \cdot \pi \approx 13 \cdot 3,14 = 40,82$ м.

Чтобы найти время, за которое обезьянка обежит манеж, необходимо перевести ее скорость из км/ч в м/с. Скорость $v = 10$ км/ч.

$v = 10 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 10 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{25}{9}$ м/с $\approx 2,78$ м/с.

Время $t$ находится делением расстояния (длины окружности) на скорость: $t = \frac{L}{v}$.

$t \approx \frac{40,82 \text{ м}}{25/9 \text{ м/с}} = \frac{40,82 \cdot 9}{25} = \frac{367,38}{25} \approx 14,7$ с.

Ответ: Длина окружности манежа – $13\pi \approx 40,82$ м. Обезьянка обежит манеж примерно за 14,7 с.

б) Площадь арены, имеющей форму круга, находится по формуле $S = \pi r^2$. Радиус $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$ м.

$S = \pi \cdot (6,5)^2 = 42,25\pi$ м².

Используя $\pi \approx 3,14$, получаем: $S \approx 42,25 \cdot 3,14 = 132,665$ м².

Чтобы выяснить, сколько ведер опилок понадобится, переведем площадь арены в квадратные дециметры. Так как 1 м = 10 дм, то 1 м² = 100 дм².

$S \approx 132,665 \text{ м}^2 = 132,665 \cdot 100 \text{ дм}^2 = 13266,5 \text{ дм}^2$.

Теперь разделим общую площадь на площадь, которую можно засыпать одним ведром (9 дм²):

Количество ведер = $\frac{13266,5 \text{ дм}^2}{9 \text{ дм}^2} \approx 1474,06$.

Поскольку нужно засыпать всю арену, а количество ведер может быть только целым, округляем полученное значение в большую сторону.

Ответ: Площадь арены – $42,25\pi \approx 132,67$ м². Понадобится 1475 ведер опилок.