Номер 299, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

299. Из концов дуги $AB$ к окружности, радиус которой равен $R$, проведены касательные, которые пересекаются в точке $D$. Определите площадь фигуры, заключенной между этими касательными и дугой, если градусная мера дуги $AB$ равна:

a) 90°;

б) 120°.

Пусть $O$ — центр окружности. Искомая фигура ограничена отрезками касательных $DA$ и $DB$ и дугой $AB$. Её площадь $S$ можно найти как разность площади четырехугольника $OADB$ и площади кругового сектора $OAB$.

$S = S_{OADB} - S_{сектора \, OAB}$

Рассмотрим четырехугольник $OADB$. Поскольку $DA$ и $DB$ — касательные, проведенные к окружности в точках $A$ и $B$, радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны этим касательным. Таким образом, $\triangle OAD$ и $\triangle OBD$ — это два равных прямоугольных треугольника ($OA = OB = R$, $OD$ — общая гипотенуза).

Площадь четырехугольника $OADB$ равна удвоенной площади треугольника $OAD$: $S_{OADB} = 2 \cdot S_{\triangle OAD}$.

Центральный угол $\angle AOB$ равен градусной мере дуги $AB$. Обозначим его через $\alpha$. Отрезок $OD$ является биссектрисой угла $\angle AOB$, поэтому $\angle AOD = \alpha / 2$.

В прямоугольном треугольнике $OAD$ катет $AD$ равен $AD = OA \cdot \tan(\angle AOD) = R \cdot \tan(\alpha/2)$.

Площадь $S_{\triangle OAD} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AD = \frac{1}{2} R \cdot R \tan(\alpha/2) = \frac{1}{2}R^2 \tan(\alpha/2)$.

Следовательно, площадь четырехугольника $S_{OADB} = 2 \cdot \frac{1}{2}R^2 \tan(\alpha/2) = R^2 \tan(\alpha/2)$.

Площадь кругового сектора $OAB$ с центральным углом $\alpha$ (в градусах) находится по формуле $S_{сектора \, OAB} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$.

a)

Градусная мера дуги $AB$ равна $90^{\circ}$, следовательно, центральный угол $\alpha = 90^{\circ}$.
Площадь четырехугольника $OADB$ составляет $S_{OADB} = R^2 \tan(90^{\circ}/2) = R^2 \tan(45^{\circ}) = R^2 \cdot 1 = R^2$.
Площадь сектора $OAB$ равна $S_{сектора \, OAB} = \frac{\pi R^2 \cdot 90}{360} = \frac{\pi R^2}{4}$.
Искомая площадь фигуры: $S = S_{OADB} - S_{сектора \, OAB} = R^2 - \frac{\pi R^2}{4} = R^2(1 - \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $R^2(1 - \frac{\pi}{4})$.

б)

Градусная мера дуги $AB$ равна $120^{\circ}$, следовательно, центральный угол $\alpha = 120^{\circ}$.
Площадь четырехугольника $OADB$ составляет $S_{OADB} = R^2 \tan(120^{\circ}/2) = R^2 \tan(60^{\circ}) = R^2\sqrt{3}$.
Площадь сектора $OAB$ равна $S_{сектора \, OAB} = \frac{\pi R^2 \cdot 120}{360} = \frac{\pi R^2}{3}$.
Искомая площадь фигуры: $S = S_{OADB} - S_{сектора \, OAB} = R^2\sqrt{3} - \frac{\pi R^2}{3} = R^2(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $R^2(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3})$.