Номер 301, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

301. На рисунке 242 изображены три круга равного радиуса площадью $12 \text{ см}^2$ каждый, центры которых находятся в вершинах произвольного треугольника. Найдите сумму площадей трех закрашенных секторов этих кругов.

Puc. 240

Puc. 241

Puc. 242

Пусть центральные углы трех закрашенных секторов равны $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$. Эти углы являются внутренними углами треугольника, в вершинах которого расположены центры окружностей.

Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$, следовательно:

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^\circ$

Площадь сектора круга ($S_{сектора}$) вычисляется по формуле: $S_{сектора} = S_{круга} \times \frac{\alpha}{360^\circ}$, где $S_{круга}$ — это площадь всего круга, а $\alpha$ — центральный угол сектора в градусах.

Найдем сумму площадей трех секторов ($S_{сумма}$). Так как по условию все три круга имеют равные радиусы, то и площади у них одинаковые — $S_{круга} = 12 \text{ см}^2$.

$S_{сумма} = (S_{круга} \times \frac{\alpha_1}{360^\circ}) + (S_{круга} \times \frac{\alpha_2}{360^\circ}) + (S_{круга} \times \frac{\alpha_3}{360^\circ})$

Вынесем общий множитель за скобки:

$S_{сумма} = S_{круга} \times \frac{\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3}{360^\circ}$

Теперь подставим известные значения: $S_{круга} = 12 \text{ см}^2$ и $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^\circ$.

$S_{сумма} = 12 \text{ см}^2 \times \frac{180^\circ}{360^\circ} = 12 \text{ см}^2 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ см}^2$.

Таким образом, суммарная площадь трех закрашенных секторов равна половине площади одного круга.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.