Номер 296, страница 154 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

296. а) Вычислите радиус сектора, если его площадь равна $16\pi$, а дуга сектора содержит $40^\circ$.

б) Вычислите площадь сектора, если площадь круга равна $256\pi$, а длина дуги этого сектора равна $4\pi$.

а)

Площадь сектора ($S_{сект}$) вычисляется по формуле:

$S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}$,

где $R$ — радиус сектора, а $\alpha$ — его центральный угол в градусах.

По условию задачи, площадь сектора равна $16\pi$, а угол дуги равен $40^{\circ}$. Подставим эти значения в формулу:

$16\pi = \frac{\pi R^2 \cdot 40^{\circ}}{360^{\circ}}$

Сократим дробь $\frac{40}{360}$ и разделим обе части уравнения на $\pi$:

$16 = \frac{R^2 \cdot 1}{9}$

$16 = \frac{R^2}{9}$

Теперь выразим $R^2$:

$R^2 = 16 \cdot 9$

$R^2 = 144$

Найдем радиус, взяв квадратный корень из $144$. Так как радиус является длиной, мы берем только положительное значение:

$R = \sqrt{144} = 12$

Ответ: 12.

б)

Для решения этой задачи можно использовать формулу площади сектора через радиус круга ($R$) и длину дуги ($L$):

$S_{сект} = \frac{1}{2}LR$

Сначала найдем радиус круга. Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$.

По условию, $S_{круга} = 256\pi$.

$\pi R^2 = 256\pi$

Разделим обе части на $\pi$:

$R^2 = 256$

$R = \sqrt{256} = 16$

Теперь у нас есть радиус $R=16$ и длина дуги $L=4\pi$. Подставим эти значения в формулу площади сектора:

$S_{сект} = \frac{1}{2} \cdot 4\pi \cdot 16$

Выполним вычисления:

$S_{сект} = 2\pi \cdot 16 = 32\pi$

Ответ: $32\pi$.